扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试
数 学 试 题Ⅰ
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
2016．5
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1．已知集合，是整数集，则 ▲ ．
2．若复数满足（为虚数单位），则 ▲ ．
3．命题“”的否定 ▲ ．
Read x
If x≤5 Then
y←10x
Else
y←2.5x+5
End If
Print y
4．已知中，，则边的长度为 ▲ ．
5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y值是20，
则输入的x值是 ▲ ．
6．在区间内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是
▲ ．
（第5题图）
7．在三棱锥中，、、两两垂直，且，则三棱锥的体积为 ▲ ．
8．已知且为锐角，则 ▲ ．
9．在平面直角坐标系中，如果直线将圆平分，且不经过第四象限，那么的斜率的取值范围是 ▲ ．
10．已知等边中，若，，且，则实数的值为 ▲ ．
11．设双曲线的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q
两点，如果是等边三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．
12．设函数，若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为 ▲ ．
13．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且（）．若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为 ▲ ．
14．已知函数在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知向量，，记函数．若函数的周期为4，且经过点．
（1）求的值；
（2）当时，求函数的最值．
16．（本小题满分14分）
在三棱锥P－SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且PA⊥BC．
（1）求证：平面PSB平面ABCD；
（2）若平面PAD平面，求证：．
（第16题图）
17．（本小题满分14分）
某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为元（其中为常数，且）．设该工厂黑色水笔的出厂价为元/百支（），根据市场调查，日销售量与成反比例，当每百支水笔的出厂价为元时，日销售量为10万支．
（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润最大，并求的最大值．
（2）已知工厂日利润达到元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费最多为多少元？（精确到元）
18．（本小题满分16分）
已知椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交轴、轴于A、B两点上，且满足．
（1）求证：线段AB的长是一定值；
（2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率．
y
Q
P
N
M
B
A
O
x
（第18题图）
19．（本小题满分16分）
数列是公差为的等差数列，它的前项和记为，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于的正整数，使．
（1）若，，，，求．
（2）若，，试比较与的大小，并说明理由；
（3）若，是否存在整数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）当时，的最小值是，求实数的值；
（3）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．
扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试
数 学 试 题Ⅱ
（全卷满分40分，考试时间30分钟）
2016．5
21（B）．（本小题满分10分）
已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵的另一个特征值．
21（C）．（本小题满分10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，极轴与轴的非负半轴重合）中，圆的方程为．若直线被圆截得的弦长为，求实数的值．
22．（本小题满分10分）
长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下：
甲班
10
12
15
18
24
36
乙班
12
16
22
26
28
38
如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．
（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；
（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）
已知．
（1）若，求中含项的系数；
（2）证明： ．
2015-2016学年度高三第四次模拟测试
数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案
2016．5
一、填空题
1．{0,1} 2． 3．“” 4． 5．2或6
6． 7．1 8． 9． 10．
11．2 12． 13． 14．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：（1）
………………………4分
由题意得：周期，故 ……………………6分
（2）∵图象过点，
即，而，故，则． ……………………10分
当时，
当时，，当时，． ……………………14分
16．证：（1） A，D分别为边SB，SC的中点，且
且
即 ……………………3分
，，、平面
平面
平面 ∴平面PSB平面ABCD ……………………7分
（2），平面，平面
平面 ……………………10分
平面，平面PAD平面
……………………14分
17．解：（1）设日销量为，则．
则日售量为日利润．
即 ，其中． ………………3分
令得．
① 当时， 当时，．
当时，取最大值，最大值为． ………………5分
② 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，取最大值． ………………7分
当时，时，日利润最大值为元
当时，时，日利润最大值为元． ………………8分
（2）由题意得：对恒成立 ………………10分
则对恒成立
设，
则在上单调增，则，即
∴每百支水笔的加工费最多约为元
答：每百支水笔的加工费最多约为元． ………………14分
18．解：（1）由题意得：，则
椭圆方程为： ……………………3分
设，则
且A、B分别在轴、轴上
为定值 ……………………7分
（2）方法（一）设 ，
则直线PQ的方程为： …………………9分
∵
点到直线的距离： ………12分
，令，则
当且仅当时，取等号；即时，，此时
………16分
方法（二）设直线MN的斜率为，则，则直线MN方程为，
直线PQ方程为， …………………9分
解方程组 ，用代得，，
由椭圆的对称性知，
点P到直线MN的距离， ………12分
由椭圆的对称性知，四边形MPNQ的面积＝
当且仅当，即时取等号，
所以，四边形MPNQ的面积的最大值为4，此时直线MN的斜率． ………16分
19．解：（1），即，，． ………3分
（2）依题意，，且，显然．
又，
所以
， ………6分
设，
它是关于的二次函数，它的图象的开口向上，
它的对称轴方程，故是上的增函数，
所以当时，即，所以． ………9分
（3）依题意：，
由得：，
即，
， ………12分
所以，
因为，故，且，且为奇数
则其中时，是整数，
故，且． ………16分
20．解：（1），
时，在上恒成立，则的单调递减区间，
时，令则，即时，，则的单调递减区间
． ………3分
（2）①，在上单调递减，，解得：，适合题意；
②，在上单调递增，，无解；
③，在上单调递减，上单调递增，，解得：，舍去；
综上可得：． ………8分
（3）时，有1条切线；时，有2条切线．
设切点坐标是，依题意：
即，化简得：
设，
故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数． ………10分
①当时，，在上恰有一个零点1； ………11分
① 当时，在上恒成立，
在上单调递减，且，
故在上有且只有一个零点，
当时，在上恰有一个零点； ………12分
③时，在上递减，在上递增，
故在上至多有两个零点，且
又函数在单调递增，且值域是，
故对任意实数，必存在，使，此时
由于，
即函数在上必有一零点； ………14分
先证明当时，，即证
若，，而，由于
若，构建函数
，
在为增函数，
综上时，，所以
，故
又，所以在必有一零点．
∴当时，在上有两个零点
∴综上：时，有1条切线；时，有2条切线． ………16分
数 学 试 题Ⅱ参考答案
21（B）．解：因为，则 ，解得所以 …5分
由，所以
． ………………………………10分
21（C）．解：直线的参数方程为（为参数）
所以直线的直角坐标系方程是： ………………………………2分
圆的直角坐标系方程是：，圆心（2，0），半径……………………4分
设圆心到直线的距离为d，，所以 ……………………………7分
又所以 ………………………………10分
22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A，则 ……3分
（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则
……………8分
0
1
2
3
4
P
答：数学期望为2 …………………………10分
23．解：（1）…………………………1分
中项的系数为； …………………………3分
（2）
设 ①
则函数中含项的系数为 ……5分
由错位相减法得： ②
，
中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为 …………………………7分
所以 ………………10分
2015-2016学年度高三第四次模拟测试
数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案
2016．5
一、填空题
1．{0,1} 2． 3．“” 4． 5．2或6
6． 7．1 8． 9． 10．
11．2 12． 13． 14．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：（1）
………………………4分
由题意得：周期，故 ……………………6分
（2）∵图象过点，
即，而，故，则． ……………………10分
当时，
当时，，当时，． ……………………14分
16．证：（1） A，D分别为边SB，SC的中点，且
且
即 ……………………3分
，，、平面
平面
平面 ∴平面PSB平面ABCD ……………………7分
（2），平面，平面
平面 ……………………10分
平面，平面PAD平面
……………………14分
17．解：（1）设日销量为，则．
则日售量为日利润．
即 ，其中． ………………3分
令得．
① 当时， 当时，．
当时，取最大值，最大值为． ………………5分
② 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，取最大值． ………………7分
当时，时，日利润最大值为元
当时，时，日利润最大值为元． ………………8分
（2）由题意得：对恒成立 ………………10分
则对恒成立
设，
则在上单调增，则，即
∴每百支水笔的加工费最多约为元
答：每百支水笔的加工费最多约为元． ………………14分
18．解：（1）由题意得：，则
椭圆方程为： ……………………3分
设，则
且A、B分别在轴、轴上
为定值 ……………………7分
（2）方法（一）设 ，
则直线PQ的方程为： …………………9分
∵
点到直线的距离： ………12分
，令，则
当且仅当时，取等号；即时，，此时
………16分
方法（二）设直线MN的斜率为，则，则直线MN方程为，
直线PQ方程为， …………………9分
解方程组 ，用代得，，
由椭圆的对称性知，
点P到直线MN的距离， ………12分
由椭圆的对称性知，四边形MPNQ的面积＝
当且仅当，即时取等号，
所以，四边形MPNQ的面积的最大值为4，此时直线MN的斜率． ………16分
19．解：（1），即，，． ………3分
（2）依题意，，且，显然．
又，
所以
， ………6分
设，
它是关于的二次函数，它的图象的开口向上，
它的对称轴方程，故是上的增函数，
所以当时，即，所以． ………9分
（3）依题意：，
由得：，
即，
， ………12分
所以，
因为，故，且，且为奇数
则其中时，是整数，
故，且． ………16分
20．解：（1），
时，在上恒成立，则的单调递减区间，
时，令则，即时，，则的单调递减区间． ………3分
（2）①，在上单调递减，，解得：，适合题意；
②，在上单调递增，，无解；
③，在上单调递减，上单调递增，，解得：，舍去；
综上可得：． ………8分
（3）时，有1条切线；时，有2条切线．
设切点坐标是，依题意：
即，化简得：
设，
故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数． ………10分
①当时，，在上恰有一个零点1； ………11分
① 当时，在上恒成立，
在上单调递减，且，
故在上有且只有一个零点，
当时，在上恰有一个零点； ………12分
③时，在上递减，在上递增，
故在上至多有两个零点，且
又函数在单调递增，且值域是，
故对任意实数，必存在，使，此时
由于，
即函数在上必有一零点； ………14分
先证明当时，，即证
若，，而，由于
若，构建函数
，
在为增函数，
综上时，，所以
，故
又，所以在必有一零点．
∴当时，在上有两个零点
∴综上：时，有1条切线；时，有2条切线． ………16分
数 学 试 题Ⅱ参考答案
21（B）．解：因为，则 ，解得所以 …5分
由，所以
． ………………………………10分
21（C）．解：直线的参数方程为（为参数）
所以直线的直角坐标系方程是： ………………………………2分
圆的直角坐标系方程是：，圆心（2，0），半径……………………4分
设圆心到直线的距离为d，，所以 ……………………………7分
又所以 ………………………………10分
22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A，则 ……3分
（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则
……………8分
0
1
2
3
4
P
答：数学期望为2 …………………………10分
23．解：（1）…………………………1分
中项的系数为； …………………………3分
（2）
设 ①
则函数中含项的系数为 ……5分
由错位相减法得： ②
，
中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为 …………………………7分
所以 ………………10分
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