安徽师大附中2016届高考最后一卷
文科数学试题
一、选择题
1．已知集合，，则集合且为 （ ）
A. B． C． D．
2．为虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x3+sinx的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（ ）
A.pq B. p q C. (p) ( q) D.p (q)
4．若平面向量，满足，，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．右边程序框图的算法思路源于古希腊数学家欧几里得的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入的分别为153，119，则输出的（ ）
A．0 B．2 C．17 D．34
8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为（ ）
A. B. C. D.
9．已知，满足约束条件，若的最大值为，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正四棱柱中，，点是平面内的一个动点，则三棱锥的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）
A．1 B．2 C ． D．
11．在正方体中，，点在球上，球与的另一个交点
为，且，则球的表面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
12．已知函数，，，若图象上存在，两个不同的点与图象上，两点关于轴对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=8an﹣1，则= ．
14．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为 ．
15．已知是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为 ．
16．已知是定义在上的偶函数，且对于任意的，满足，若当时，，则函数在区间
上的零点个数为 ．
三、解答题
17．在等比数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，且为递增数列，若，求证：．
18．国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是.）
男生平均每天运动的时间分布情况：
女生平均每天运动的时间分布情况：
（Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到）；
（Ⅱ）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.
①根据样本估算该校“运动达人”的数量；
②请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”[来源:Z*xx*k.Com]
参考公式：，其中
参考数据：[来源:学科网ZXXK]
19．如图，四棱柱的底面
是菱形，，底面，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求点到平面的距离．
20．已知圆：和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的两点.
（Ⅰ）当切线斜率为-1时，求线段的长；
（Ⅱ）设点和点关于直线对称，且，求直线的方程.
21．若，其中．
（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；
（Ⅱ）当时，若恒成立，求的取值范围．
23．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；
（Ⅱ）将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到曲线向左平移1个单位，得到曲线．求曲线上的点到直线的距离的最小值．
参考答案
1．D.由题意得，，，而所求集合即为，故选D．
考点：1.函数的性质；2.集合的关系．
2．A
根据复数的运算，可知，所以，故选A．
考点：复数的四则运算和复数的相关概念．
3．B ，的最小正周期为，故命题为假命题，为真命题，令，则，即的图象关于原点中心对称，故命题为真命题；由真值表，得为真命题；故选B．
考点：1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.复合命题的真假判定．
4．D：，又又所以故选D.
考点：向量的数量积运算.
5．C：由所给图象上两点，，可知，，即，故，代入点，解得，所以，当函数向左平移个单位长度时， .
考点：1、三角函数图象与性质；2、三角函数图象变换；3、诱导公式.
6．D：,所以，，所以，故选D.
考点：1.等比数列的定义及性质；2.等比数列的前项和公式.
7．C：首先执行得余数，，，再一次执行得余数，，，在一次执行得余数，，，所以输出，故本题正确选项为C.
考点：程序框图.
8．B：由已知可得 ．如图过 作 ，垂足为 ，
则由抛物线的定义得；
， 代入 得， ；又， 直线 方程为 ，即 ，代入 得，；.故选B.
考点：直线与抛物线的综合应用；三角形的面积.
9．C：作出，满足约束条件的可行域
则，即当过点B时取得最大值，所以则的取值范围为.
考点：线性规划.[来源:学科网ZXXK]
10．B：由题意，得三棱锥的正视图始终是一个底为1，高为2的三角形，其面积为1，而当Z在底面D 的投影点在的内部或边界上时，其俯视图的面积最小，最小值为，此时，三棱锥的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2；故选B．
考点：三视图．
11．B：因为，所以，球的半径为，所以球的表面积为.
考点：空间立体几何和球的面积公式.
12．D.：设函数图象上任一点，其关于轴的对称点为，
∴由题意可知方程在上有两个不等实根，∴，即实数的取值范围是，故选D．
考点：函数与方程．
13． 解：∵Sn=8an﹣1，∴当n=1时，a1=8a1﹣1，解得a1=．
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（8an﹣1）﹣（8an﹣1﹣1），化为．
∴==．故答案为：．
考点：数列递推式．
14．：所求概率为
考点：古典概型概率
15．16：由于=
考点：双曲线定义
16．7：由题意作出在区间上的图像，与直线的交点共有个，故函数在区间上的零点个数为
考点：函数图像与性质
17．（1）时，，时，；（2）证明见解析．
试题解析：（1）时，； 时，．
（2）由题意知：， ∴．∴．
∴，
∴．
考点：1、等比数列通项公式；2、列项相消法求和；3、对数的运算法则．
18．
②
在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”.
试题解析： （Ⅰ）由分层抽样得：男生抽取的人数为人，女生抽取人数为人，故5，2，
则该校男生平均每天运动的时间为：
，
故该校男生平均每天运动的时间约为小时；
（Ⅱ）①样本中“运动达人”所占比例是，故估计该校“运动达人”有
人；
②由表格可知：[来源:Zxxk.Com]
故的观测值
故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”
考点：1.用样本估计总体；2.独立性检验.
19．试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，平面，
所以． 因为是菱形，所以．
因为，，平面，所以平面．
（Ⅱ）解法一：因为底面是菱形，，，，
所以，．
所以的面积为．
因为平面，平面，
所以，．
因为平面，所以到面的距离等于到面ABCD的距离．
由（Ⅰ）得，平面．
因为平面，所以． 因为，所以．
所以△的面积为． 设到面的距离为，
因为，所以．
所以．所以点到平面的距离为．
解法二：由（Ⅰ）知平面，
因为平面，所以平面⊥平面．
连接与交于点，连接，，
因为，，所以为平行四边形．
又，分别是，的中点，所以为平行四边形．所以．
因为平面与平面交线为，
过点作于，则平面．
因为，平面，所以平面．
因为平面，所以，即△为直角三角形．
所以． 所以点到平面的距离为．
考点：1、线面垂直；2、点到平面的距离．
20．试题分析：（1）因为圆，所以圆心为，半径.
设，当直线的斜率为-1时，设的方程为.
由，解得或，所以
由消去得，
所以
弦长；
（2）（i）当直线的斜率不存在时，因为直线是圆的切线，所以的方程为，与联立，则得，即，.不符合题意.
（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由题意知，得①，由，
消去得.由直线l是圆的切线，得到，解得此时直线l的方程为；设直线l的斜率不存在时，l的方程为则得不成立，总上所述，存在满足条件其方程为.
考点：1、抛物线的简单性质；2、直线方程.
21．试题解析：（Ⅰ）当，时，，，
．
（Ⅱ）①当时，，，；
②当时，，，
（i）当，即时，在区间上为增函数，
当时，，且此时；[来源:学,科,网]
（ii）当，即时，在上是减函数，在上是增函数，
；
（iii）当，即时，在区间上为减函数，．
综上所述，函数在上的最小值为，
则，解得；，无解；，无解．
故所求的范围是．
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、导数与函数最值的关系；3、不等式的解法．
23．（1），；（2）.
（1）曲线的直角坐标方程为：，即．
直线的普通方程为．
（2）将曲线上的所有点的横坐标缩为原来的，得
，即，
再将所得曲线向左平移1个单位，得：，
又曲线的参数方程为（为参数），
设曲线上任一点，
则（其中），
所以点到直线的距离的最小值为．
考点：极坐标、参数方程.
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