江苏省泰州市2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案.doc

‎2015～2016学年度第二学期期末考试 ‎ 高一数学试题 ‎(考试时间：120分钟 总分：160分) ‎ 命题人：吴春胜 张圣官 展国培 ‎ 审题人：丁凤桂 唐咸胜 ‎ 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．‎ 参考公式：棱锥的体积公式：棱锥，其中为棱锥的底面积，为高.‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）‎ ‎1．已知，，则直线的斜率为　　　　　　．‎ ‎2．在公差为的等差数列中，若，则的值是　　　　　　． ‎ ‎3．若满足：，，，则边的长度为　　　　　　．‎ ‎4．已知，且，则的值是　　　　　　． ‎ ‎5．如图，在直三棱柱中，，，，，则四棱锥的体积为　　　　　　．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，直线和直线互相垂直，则实数的值是　　　　　　． ‎ ‎7．已知正实数满足，则的最大值是　　　　　　．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，，，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是　　　　　．‎ ‎9．已知实数满足：，，则的最小值是　　　　　　．‎ ‎10．如图，对于正方体，给出下列四个结论：‎ ‎①直线平面 ②直线直线 ‎③直线平面 ④直线直线 其中正确结论的序号为　　　　　　．‎ ‎11．在中，角，，的对边分别为，，‎ ‎，已知，则角的值是　　　　　．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若过点的直线与圆交于两点（其中点在第二象限），且，则点的横坐标为 ．‎ ‎13．已知各项均为正数的数列满足，且，则的最大值是 ．‎ ‎14．如图，边长为（）的正方形被剖分为个矩形，这些矩形的面积如图所示，则的最小值是　　　　．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，直线．‎ ‎（1）若直线与直线平行，求实数的值； ‎ ‎（2）若，，点在直线上，已知的中点在轴上，求点的坐标．‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 在中，角、、的对边分别为、、（），已知．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，且，求的面积．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，分别为，的中点．‎ 求证：（1）直线平面；（2）平面平面．‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 如图，某隧道的截面图由矩形和抛物线型拱顶组成（为拱顶的最高点），以所在直线为轴，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，已知拱顶的方程为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）现欲在拱顶上某点处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点对隧道底的张角最大，求此时点到的距离．‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于，两点，设直线的方程为．‎ ‎（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；‎ ‎（2）已知直线与圆相交于，两点．‎ ‎（ⅰ）若，求实数的取值范围；‎ ‎（ⅱ）直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，，， 是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 已知数列的首项，前项和为．数列是公差为的等差数列．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）数列满足：，其中．‎ ‎（ⅰ）若，求数列的前项的和，；‎ ‎（ⅱ）当时，对所有的正整数，都有，证明：．‎ ‎2015～2016学年度第二学期期末考试 ‎ 高一数学参考答案 一、填空题 ‎1．； 　　2．； 3．； 4．； 5．； ‎ ‎6．； 7．； 8．； 9． ； 10．； ‎ ‎11．； 12．； 13． ； 　 14．. ‎ 二、解答题 ‎15. 解：（1）∵直线与直线平行，‎ ‎∴，‎ ‎∴，经检验知，满足题意．　　　　 　　　　　　　 ………………７分 ‎（2）由题意可知：，‎ 设，‎ 则的中点为，　　　　　　　　　　　　　　　　　………………１０分 ‎∵的中点在轴上，∴，‎ ‎∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………１４分 ‎16. 解：（1）∵‎ 由正弦定理： ‎ ‎∴ 　　　　　　　　………………２分 ‎∵ 　　　　　　　‎ 由正弦定理：，　　　　　　　　　　　　　　　　　………………４分 ‎∴，‎ ‎∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………7分 ‎（2）由得：，‎ ‎∵，∴或 当时，‎ ‎∵，‎ ‎∴，此时，舍去，‎ ‎∴， ………………9分 由（1）可知：，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴或（舍） ………………12分 所以 ………………14分 ‎17.（1）证明：∵点，分别为，的中点，‎ ‎∴， 　　　　　　 ………………2分 又∵平面，平面，‎ ‎∴直线平面． 　　　　　　 ………………6分 ‎（2）证明：∵，点为中点，‎ ‎∴， ‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，，‎ ‎∴平面，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………9分 ‎∵平面，∴，‎ 由（1）可知：，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，，，在平面内，‎ ‎∴平面， 　………………12分 ‎∵平面，∴平面平面． ………………14分 ‎ ‎18. （1）解：由题意：，，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ………………5分 ‎ ‎（2）（法1）设，，‎ 过作于，‎ 设，则， ………………8分 ‎ ‎∴‎ ‎………………12分 ‎∵，∴当且仅当时最大，即最大．‎ 答：位置对隧道底的张角最大时到的距离为米．　　………………14分 ‎（法2）设，，‎ ‎∴， ‎ ‎∴，∴ ………………8分 ‎∵，∴‎ ‎∴　………12分 ‎∵，∴当且仅当时最大，即最大．‎ 答：位置对隧道底的张角最大时到的距离为米． ………………14分 ‎19．（1）解：由题意，，‎ ‎∴圆心到直线的距离，　　　　　　　　　　　　　 ………………2分 ‎∵直线与圆相切，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………4分 ‎（2）解：由题意得：，‎ ‎∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………６分 由（1）可知：，‎ ‎∴，‎ ‎∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………９分 ‎（3）证明：，与圆联立，‎ 得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ 同理可得：， ………………12分 ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴， ………………14分 设，‎ ‎∴， ∴，　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎∴，即，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎∴，　　　　∴，‎ ‎∴存在常数，使得恒成立．　　　　　　　　　 ………………16分 ‎20. （1）解：由题意，，‎ ‎∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 当时，，‎ 当时，上式也成立，∴，，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎∵　　∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………3分 ‎（2）（ⅰ）由题意：，‎ 当时，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴， ………………6分 ‎∴前项的和 ‎． ………………8分 ‎（ⅱ）证明：由题意得：，令，，‎ ‎∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　………………11分 ‎∵,，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，， 　　　　　‎ ‎①当为偶数时，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴， ………………13分 　 　　‎ ‎②当为奇数时，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴， ………………15分 　　　　　‎ 综上：，即． ………………16分