湖北省孝感高级中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案.doc

孝感高中2015—2016学年度高二下学期期末考试 数学（理）试题 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张享昌 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．若为纯虚数，其中=（ ）‎ ‎ A． B．1 C． D．－1‎ ‎2．与极坐标不表示同一点的极坐标是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点. 在上述条件下，给出下列四个结论：‎ ‎①平分； ‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④.则所有正确结论的序号是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎4．已知命题“存在使得”，则下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A．是假命题；“任意，都有”‎ ‎ B．是真命题；“不存在使得”‎ ‎ C．是真命题；“任意都有”‎ ‎ D．是假命题；“任意都有”‎ ‎5．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）.‎ A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立.‎ ‎ C．若成立，则当时，均有成立.‎ ‎ D．若成立，则当时，均有成立.‎ ‎6．已知下列四个命题：‎ ‎ 若直线和平面内的无数条直线垂直，则；‎ ‎ 若则；‎ ‎ 若则；‎ 在中，若，则.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．在平面直角坐标系中，满足的点的集合对应的平面图形的面积为；类似地，在空间直角坐标系中，满足的点的集合对应的空间几何体的体积为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为的中点，点为平面 内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（ ）‎ ‎ A．0个 B．1个 ‎ C．2个 D．3个 ‎9．一物体在力（力单位：，位移单位：m）的作用下，沿与力 相同的方向由直线运动到处做的功是（ ）‎ A．925J B．850J ‎ C．825J D．800J ‎10．在同一直角坐标系中，函数与的图象不可能的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知“整数对”按如下规律排成一列：（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），……，则第60个数对是（ ）‎ A．（5,7） B．（7,5） C．（2,10） D．（10,1）‎ ‎12．已知定义在上的奇函数的图象为一条连续不断的曲线，，且当时，的导函数满足，则在上的最大值为（ ）‎ ‎ A． B．0 C． D．2016‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上）‎ ‎13．如图，点D在的弦上移动，连接，过点作的垂线交 与点，则的最大值为____________.‎ ‎14．若不等式对任意实数 都成立，则实数的取值范围为____________.‎ ‎15．在正四棱锥中，分别为的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为__________.‎ ‎16．设函数. 若对任意的和任意的，恒有成立，则实数的取值范围是_______.‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．如图，是圆的直径，是圆的切线，交圆于点.‎ ‎ （1）若D为AC的中点，求证：是圆的切线；‎ ‎ （2）若求的大小.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎ （1）当时，解不等式 ‎ （2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎19．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎ （1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎ （2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.‎ ‎20．如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，且.‎ ‎ （1）求证：平面平面；‎ ‎ （2）若是棱的中点，求证：平面；‎ ‎ （3）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎21．设命题关于的方程在上有解，命题关于的方程至少有一个负实根. 若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎22．已知函数，其中为常数.‎ ‎ （1）若恰有一个解，求的值.‎ ‎ （2）若函数，其中为常数，试判断函数的单调性；若恰有两个零点且，‎ 求证：（为自然对数的底数）‎ 孝感高中2015—2016学年度高二下学期期末考试 高二数学（理）参考答案 一、选择题(共60分，每小题5分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B D C D B B C C B A C 二、填空题（共20分）‎ ‎13．2 14． 15． 16．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（10分）（1）证明：连接.由已知，得.‎ 在Rt中，由已知得，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎,‎ 是圆的切线.‎ ‎（2）解：设，由已知得,‎ 由射影定理可得：.‎ 解得.‎ ‎18．（12分）解：（1）当时，‎ 等价于或或 解得或,原不等式的解集为 ‎（2）由绝对值三角不等式可知.‎ 若存在实数，使得不等式成立，则，解得，‎ 实数的取值范围是.‎ ‎19．（12分）解（1）因为圆的极坐标方程为,‎ 所以.‎ 又，所以，‎ 所以圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设.‎ 因为圆的方程可化为，‎ 所以圆的圆心是，半径是2.‎ 将代入，得.‎ 又直线过，圆的半径是2，所以，‎ 即的取值范围是.‎ ‎20．（12分）（1）证明：连接，交于点.‎ 为正三角形，，‎ 又,‎ 平面，又平面，平面平面.‎ ‎（2）解：取中点，连接.‎ 是的中点，∥.‎ 不在平面内，∥平面.‎ ‎∥.‎ 不在平面内，∥平面.‎ 又,平面∥平面∥平面.‎ ‎（3）解：由（1）知，且,连接.‎ ‎.‎ 由（1）知平面.‎ 如图建立空间直角坐标系，则 ‎,,‎ ‎.‎ ‎.‎ 设平面的一个法向量,则 由得.‎ 同理，平面的法向量.‎ 故二面角的平面角的余弦值.‎ ‎21．（12分）解：若正确，则由题意，，则的解为 或.‎ 原方程在上有解，只需或.‎ 解得：或 综上真时，‎ 若正确，当时，有一个负实根.‎ 当时，原方程有实根的充要条件为：‎ ‎.‎ 设两根为，则 当只有一个负实根时，‎ 当有两个负实根时,.‎ 综上，真时，.‎ 由为真，为假知，一真一假.‎ 当真假时， .‎ 当假真时， .‎ 的取值范围为或.‎ ‎22．（12分）（1）解：由题意，得函数的定义域为，‎ 令，得.‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，‎ 故.‎ 因为恰有一个解，所以,即.‎ ‎（2）①解：由得，‎ ‎.‎ 函数的定义域为，且.‎ 因为，‎ 所以函数在上单调递增.‎ ‎②证明：因为,‎ 故也是的两个零点.‎ 由，得，不妨令.‎ 是的唯一最大值点，故有 由①得，单调递增.‎ 故当时，，当时，.‎ 由,‎ 整理得，‎ 即；‎ 同理得：.‎ 故,‎ ‎，于是 综上，.‎