2016年高二理科数学暑假作业（1）
班级 座号_____ 姓名 _____
1.设样本数据的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数， ），则的均值和方差分别为 （ ）
A． B． C． D．
2.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为 （ ）
地面跑道
A．
B．
C．
D．
3. 若的最小值为，则实数的值为（ ）
A.5或8 B.−1或5 C.−1或4 D.−4或8
4. 在平面直角坐标系中，已知向量，，，，点满足.曲线，区域，若是两段分离的曲线，则（ ）
A. B.
C. D.
5.在空间直角坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则 （ ）
（A） （B）且
（C）且 （D）且
6.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不
低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学，
他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样
的.问满足条件的最多有多少学生 （ ）
（A） （B） （C） （D）
7.观察分析下表中的数据：
多面体
面数（）
顶点数（)
棱数（)
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，所满足的等式是________．
8. 已知两个不相等的非零向量，两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是___________（写出所有正确命题的编号）.
①有5个不同的值 ②若，则与无关
③若，则与无关 ④若，则
⑤若，，则与的夹角为
9.设函数，，若在区间上具有单调性，且
，则的最小正周期为________.
10.如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．
（1） 求的值；
A
B
O
Q
P
x
y
（2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程．
11. 设函数，其中是的导函数．
⑴，求的表达式；
⑵若恒成立，求实数的取值范围；
⑶设，比较与的大小，并加以证明．
12.已知椭圆.
（1） 求椭圆的离心率;
（2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，
求直线 与圆的位置关系，并证明你的结论.
13.对于数对序列，记，
，其中
表示和两个数中最大的数，
（1） 对于数对序列，求的值.
（2） 记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.
（3）在由5个数对
组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.
14.如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，，且.过三点的平面记为，与的交点为.
(Ⅰ)证明：为的中点；
(Ⅱ)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
(Ⅲ)若，梯形的面积为，求
平面与底面所成二面角的大小.
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
Q
第（14）题图
15. 设实数，整数.
(Ⅰ)证明：当且时，；
(Ⅱ)数列满足.证明：.
2016年高二理科数学暑假作业（1）
班级 座号_____ 姓名 _____
1.设样本数据的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数， ），则的均值和方差分别为 （ ）
A． B． C． D．
2.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为 （ ）
地面跑道
A．
B．
C．
D．
3. 若的最小值为，则实数的值为（ ）
A.5或8 B.−1或5 C.−1或4 D.−4或8
【答案】D
【解析】利用绝对值的几何意义，，结合数轴易知，当时，取得最小值，此时，由，可求得或，故选D.
4. 在平面直角坐标系中，已知向量，，，，点满足.曲线，区域，若是两段分离的曲线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，且 ，设 ， ，则由得
曲线C:设，则， 则：
，表示以为圆心，为半径的圆；
区域 ：设，则由，
则有：，
表示以 为圆心，分别以和为半径的同心圆的圆
环形区域（如图），若使得是两段分离的曲线，则由图
像可知：，故选A.
5.在空间直角坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则 （ ）
（A） （B）且
（C）且 （D）且
6.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不
低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学，
他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样
的.问满足条件的最多有多少学生 （ ）
（A） （B） （C） （D）
7.观察分析下表中的数据：
多面体
面数（）
顶点数（)
棱数（)
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，所满足的等式是________．
8. 已知两个不相等的非零向量，两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是___________（写出所有正确命题的编号）.
①有5个不同的值
②若，则与无关
③若，则与无关
④若，则
⑤若，，则与的夹角为
【答案】②④
【解析】记,，若与中有两个向量对应，则；
若与中有且只有一个向量对应，则，若与中没有向量对应，则. ；；
又因为，所以. 所以①说法有三个不同的值，说法错误；②，当时，，故②正确；又当，与有关，故③说法错误；当时，，故④正确；当时，，所以，所以，所以，故⑤说法错误，综上易知正确的是②④.
9.设函数，，若在区间上具有单调性，且
，则的最小正周期为________.
10.如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．
（1） 求的值；
（2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程．
A
B
O
Q
P
x
y
11. 设函数，其中是的导函数．
⑴，求的表达式；
⑵若恒成立，求实数的取值范围；
⑶设，比较与的大小，并加以证明．
12.已知椭圆.
（1） 求椭圆的离心率;
（2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
13.对于数对序列，记，
，其中
表示和两个数中最大的数，
（1） 对于数对序列，求的值.
（2） 记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.
（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.
14.A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
Q
第（14）题图
如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，，且.过三点的平面记为，与的交点为.
(Ⅰ)证明：为的中点；
(Ⅱ)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
(Ⅲ)若，梯形的面积为，求
平面与底面所成二面角的大小.
15. 设实数，整数.
(Ⅰ)证明：当且时，；
(Ⅱ)数列满足.证明：.
2016年高二理科数学暑假作业（1）参考答案
A A D A D B ②④
10、【解析】⑴在，的方程中，令，可得，且，是上半椭圆的左右顶点．
设的半焦距为，由及得．
∴，．
⑵解法一 由⑴知，上半椭圆的方程为（）．
易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为（），
代入的方程，整理得
． （*）
设点的坐标为，
∵直线过点，∴是方程（*）的一个跟．
由求根公式，得，从而，
∴点的坐标为．
同理，由，得点的坐标为．
∴，．
∵，∴，即，
∵，∴，解得．
经检验，符合题意．
故直线的方程为．
解法二 若设直线的方程为（），比照解法一给分．
11、【解析】由题设得，（）．
⑴由已知，，，
，…，可得．
下面用数学归纳法证明．
①当时，，结论成立．
②假设当时结论成立，即．
那么当时，
，
即结论成立．
由①②可知，结论对成立．
⑵已知恒成立，即恒成立．
设（），
则，
当时，（仅当，时等号成立），
∴在上单调递增，又
∴在上恒成立，
∴时，恒成立（仅当时等号成立），
当时，对恒有，∴在上单调递减，
∴．
即时，存在，使，故知不恒成立，
综上可知，的取值范围是．
⑶由题设知，
，
比较结果为．
证明如下：
证法一 上述不等式等价于，
在⑵中取，可得，．
令，，则．
下面用数学归纳法证明．
①当时，，结论成立．
②假设当时结论成立，即．
那么当时，
，
即结论成立．
由①②可知，结论对成立．
证法二 上述不等式等价于，
在⑵中取，可得，．
令，，则．
故有，
，
…
O
n
x
y
1
2
3
…
，
上述各式相加可得，
结论得证．
证法三 如图，是由曲线，及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，
∴，
结论得证．
12.【解析】（Ⅰ）由题意,椭圆的标准方程为.
所以从而.
因此.
故椭圆的离心率.
(Ⅱ)直线与圆相切.证明如下：
设点的坐标分别为其中.
因为,所以即,解得.
当时,,代入椭圆的方程,得.
故直线的方程为.圆心到直线的距离.
此时直线与圆相切.
当时,直线的方程为
即
圆心到直线的距离
又故
.
此时直线与圆相切.
13.【解析】（Ⅰ）
(Ⅱ)
当时,
因为,且所以
当时,
因为且所以
所以无论还是,都成立.
(Ⅲ) 数对序列的值最小,
14.(Ⅰ)证：因为，，，，所以平面//平面.从而平面与这两个平面的交线相互平行，即.
故与的对应边相互平行，于是.
所以，即为的中点.
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
Q
第（14）题图1
(Ⅱ)解：如第(20)题图1，连接，.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和.设，则.
，
，
所以，
又，
所以，
故.
(Ⅲ)解法1：如第(20)题图1，在中，，垂足为，连接，
又，且.
所以⊥平面，于是.
所以为平面与底面所成二面角的平面角，
因为∥,,所以.
又因为梯形的面积为，,所以，.
于是，.
故平面与底面所成二面角的大小为.
解法2：如第(20)题图2，以为原点，分别为轴和轴为正方向建立空间直角坐标系.
设. 因为，所以.
从而，，
所以，.
设平面的法向量，
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
Q
第（14）题图2
由
得
所以.
又因为平面的法向量.
所以，
故平面与底面所成二面角的大小为.
15. (Ⅰ)证：用数学归纳法证明
①当时，，原不等式成立.
②假设时，成立.
当时，.
所以时，原不等式也成立.
综合①②可得，当时，对一切整数，不等式均成立.
(Ⅱ)证法1：先用数学归纳法证明.
①当时，由题设知成立.
②假设时，不等式成立.
由易知.
当时，.
由得.
由(Ⅰ)中的结论得.
因此，即.
所以时，不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
再由可得，即.
综上所述，.
证法2：设，则，并且
.
由此可得，在上单调递增，
因而，当时，.
①当时，由题设，即可知
，并且，
从而.
故当时，不等式.
②假设 ()时，不等式成立，
则当时，，即有.
所以时，原不等式也成立.
综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立.
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