2016高二理科数学暑假作业（4）
班级___________姓名________________座号__________
1．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知定义在上的函数满足：
①；
②对所有，且，有.
若对所有，恒成立，则k的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为( )
A.5 B.4 C. D. 2
4.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和
的方程组 的解的情况是 （ ）
A. 无论如何，总是无解 B. 无论如何，总有唯一解
C. 存在，使之恰有两解 D. 存在，使之有无穷多解
6. 设若是的最小值，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为 .
8.已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 .
9. 已知互异的复数满足，集合，则.
10. 设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则
.
11.某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分. 若，则
小白得5分的概率至少为_____________.
12.已知曲线直线. 若对于点存在上的点和上
的点使得,则的取值范围为_____________.
13.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.
（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求的方程.
14.已知函数，.
证明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且对（1）中的.
15.设函数（为常数，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.
16.已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
17.在平面直角坐标系中，对于直线：和点，记.若，则称点被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线.
（1）求证：点被直线分隔；
（2）若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；
（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线.
18、已知数列满足.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是公比为的等比数列，，若，，求的取值范围；
（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及
取最大值时相应数列的公差.
暑假作业4参考答案
CBBABD -2 -1 [2, 3]
13.解:（Ⅰ）设切点坐标为（），则切线斜率为，切线方程为，即此时两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.
由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此P的坐标为,
由题意知，解得，故方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，
由此设的方程为，，
由P在上，得
解得，因此方程为
显然，不是直线，设的方程为，点，
由，得，又是方程的根，因此
，
由得
因，，
由题意可知，所以 （5）
将（1）（2）（3）（4）代入（5）整理得，，
解得或，
因此直线方程为或.
14.证明：（Ⅰ）当时，
函数在上为减函数，又，，
所以存在唯一，使得.
（Ⅱ）考虑函数，
令，则时，,
记,则
由（Ⅰ）得，当时，，当时，，
在上是增函数，又，从而当时，，所以在无零点.
在上是减函数，由，，知存在唯一，使.
所以存在唯一的
因此存在唯一的，使
因为当时，，故与有相同的零点，
所以存在唯一的使得.
因为，所以.
15.解：（1）函数的定义域为.
.
由可得，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)由(1)知，当时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点；
当时，设函数，．
因为，
当时，
当时，，单调递增，
故在内不存在两个极值点．
当时，得时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增．
所以函数的最小值为．
函数在内存在两个极值点．
当且仅当
解得.
综上所述，函数在内存在两个极值点时，的取值范围为.
16.解：(1)由题意知.
设，则的中点为.
因为，
由抛物线的定义知，
解得或(舍去)．
由，解得，
所以抛物线的方程为.
(2)①证明：由(1)知．
设，．
因为，则，
由得，故．
故直线的斜率.
因为直线和直线平行，
设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
由题意，得.
设)，则，.
当时，，
可得直线的方程为，
由，
整理可得，
直线恒过点．
当时，直线的方程为，过点．
所以直线恒过点．
②由①知，直线恒过点，
所以.
设直线的方程为，
因为点在直线上，
故.
设)．
直线AB的方程为，
由，得.
代入抛物线方程得，
所以，
可求得，.
所以点B到直线AE的距离为
，
则的面积，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的面积的最小值为.
17. [证](1) 因为，所以点被直线分隔. ……3分
[解](2) 直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有
解，即. 因为直线是曲线的分隔线，故它们没有公共点，即
.当时，对于直线，曲线上的点和满足
，即点和被分隔.
故实数的取值范围是. ……8分
[证](3) 设的坐标为，
则曲线的方程为，即. ……10分
对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点.又曲线上的点
和对于轴满足，即点和被轴分隔.
所以轴为曲线的分隔线. ……13分
若过原点的直线不是轴，设其为.
由得，
令，
因为，所以方程有实数解.
即直线与曲线有公共点，故直线不是曲线的分割线.
综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线 ……16分
18. [解](1) 由条件得且，解得.
所以的取值范围是[3, 6]. ……3分
(2)由，且，得，所以 ……4分
又，所以. ……5分
当时，，，由得 成立. ……6分
当时，即.
①若，则
由得，所以 ……8分
②若，则.
由得，所以
综上，的取值范围为. ……10分
(3) 设数列的公差为.由，且，
得，
即
当时，，
当时，由得
所以 ……14分
所以，即，
得. ……17分
所以的最大值为，时，的公差为. ……18分
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