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高二级数学科期末考试试卷
第一部分选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则集合等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.等差数列中，，则的值是（ ）
A．22 B．16 C．15 D．18
4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则等于（ ）
A． B． C． D．
5.如下图所示，，在以为圆心，以为半径的半圆弧上随机取一点，则的面积小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.某几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
7.函数的图象大致是（ ）
8.执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的( )
A． B． C． D．
9.设，则（ ）
A． B． C． D．
10.直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11.过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点，若，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
12.我们把形如的函数称为“莫言函数”，其图象与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”，当时，“莫言圆”的面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设向量，且，则___________.
14.已知的面积为，，，则___________.
15.已知的展开式中的系数为，则实数的值为___________.
16.已知实数满足不等式组，则的取值范围是___________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，已知，.
（1）求通项公式及；（2）设，求数列的前项和
18.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，面，
，，，，且是的中点.
（1）求证: 平面；
（2）求二面角的大小.
19.（本小题满分12分）
为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员，得到情况如下表：
（1）完成表格，并判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”，并说明理由；
（2）现把以上频率当作概率，若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公力员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率.
（2）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省女联的人数为，求的公布列及数学期望.
男性公务员
女性公务员
总计
有意愿生二胎
30
15
无意愿生二胎
20
25
总计
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
20.（本小题满分12分）
设椭圆的右焦点为，右顶点为，且，（其中为原点，为椭圆的离心率.
（1）求椭圆方程；
（2）若过点的直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？如果有，求出点的坐标及相应定值；如果没有，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若该函数有两个不同的零点，试求：（i）实数的取值范围；（ii）证明：.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）.
（1）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点是为曲线上一动点，求的取值范围.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为；
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
2015-2016学年度第二学期
高二级数学科期末考试答案
一、选择题 DCABA CACDC CD
一、 填空题 13、2或-1； 14、； 15、3或； 16、
二、 解答题
17.解答：(1)由题意，，则，作差得：, 化简：，又时，，故数列{}是首项为1，公比为3的等比数列，则;
时，
综上则
18.证明：（1）取的中点，连接,
在中，是的中点，是的中点，所以,
又因为，所以且.
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面，平面，故平面.
解法二：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得,
（Ⅰ）,
设平面的一个法向量是，
由，得，
令，则.
又因为
所以，又平面，所以平面.
（2）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是，
因为平面，所以，又因为，所以平面.
故是平面的一个法向量.
所以，又二面角为锐角，
故二面角的大小为.
19试题解析：解：（1）由于
故没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”．
（2）由题意可得，一名男公务员要生二胎意愿的概率为,无意愿的概率为,记事件A:这三人中至少有一人要生二胎,且各人意愿相互独立
则
答：这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率为．
(3) 可能的取值为0,1,2
0
1
2
20答案：（Ⅰ）由题意:则有
化简后得,又
故. 所以椭圆方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，
则, 若存在定点满足条件，则有
如果要上式为定值，则必须有
验证当直线斜率不存在时，也符合。
故存在点满足
21解答:由,则,
讨论:若,则,故在定义域上单调递增;
若,令,解得;令,解得,
综上:当时, 的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时, 的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2) i)由题意:由(1)可知, 当时,函数至多只有一个零点,不符合题意,舍去;
时,令,解得,此时;时, ,因此会有两个零点,符合题意.
综上:实数的取值范围是 注: 用分离参数法也可以
(3)证法1:由(2)可知: 时,此时;时, ,且,因此,
由,相除后得到,取对数,令,
即,要证 ,即证,即证
,令,即证,构造函数,
由,单调递增,则,故不等式成立,综上 即原不等式成立.
证法2:由,构造函数,
由,令;令且,,则函数在和单调递减,在递增,
若与直线有两个交点,则必有,
要证,即证: ,因为函数在递增,只需证即可,即证,通分后只需证,
构造函数
由,故在上单调递增,故,故不等式成立,综上则原命题成立
另外的解法：有一种解法是在判断完在和单调递减,在递增之后，设新的函数：，求出它的单调性，判断极值点偏移的情况。
可得,即表示在中，以作分界线，左边是上升比较快的。
于是设，且
又有，又，在单调递增，所以有：
22.试题解析：（1）两边同时乘以得，则
,化简得:
曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程为：
（2）消去参数,直线的参数方程化为直角坐标方程得：
令得，即，又曲线为圆，圆的圆心坐标为，
半径，则.由
则
23试题解析：解：（1）∵，∴不等式，即，
∴，由不等式的解集为;则
解得：；
（2）关于的不等式恒成立关于的不等式恒成立恒成立恒成立，
由或，
解得：或．即
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