2016年上期永州四中高一年级期末综合水平检测
数学（试题卷）
一.选择题（每题5分，共60分）
1.已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），则角α的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
2. 已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于x=对称
C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到
D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
3.已知点A（0，1），动点P（x，y）的坐标满足y≤|x|，那么|PA|的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
4.在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若，点E为线段AD的中点，，则λ=（ ）
A． B． C． D．
5.已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
6.已知为第二象限角， 是关于x的方程
的两根，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7.已知b＞a＞0，ab=2，则的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣∞，﹣4） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）
8.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9.在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=ln（1+），则an=（ ）
A．1+n+lnn B．1+nlnn C．1+（n﹣1）lnn D．1+lnn
10.设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.
根据上述数据，函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
11.设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数（ ）
（1）f（x）的图象过点（0，）
（2）f（x）的一个对称中心是（）
（3）f（x）在[]上是减函数
（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．
A．4 B．3 C．2 D．1
12.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+，则S2015的值是（ ）
A． B． C．2015 D．
二.填空题（每题5分，共20分）
13.已知，且，则_____.
14.已知向量，若，则λ= ．
15.若表示不大于的最大整数，则使得成立的正整数的最小值是
16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为锐角，且8 sinAsinC=sin2B，则的取值范围为 。
三.解答题（第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）
17.已知cosα=且tanα＞0．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且；
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设BC中点为D，且AD=；求a+2c的最大值及此时△ABC的面积．
19.已知函数，x∈R．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，，若向量与共线，求a、b的值．
20.已知等比数列{an}的公比q＞1，且2（an+an+2）=5an+1，n∈N*．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若a52=a10，求数列{}的前n项和Sn．
21.已知向量，函数，若函数的图象的两个相邻对称中心的距离为.
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）若将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
22.各项为正的数列{an}满足，，
（1）取λ=an+1，求证：数列是等比数列，并求其公比；
（2）取λ=2时令，记数列{bn}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项之积为Tn，求证：对任意正整数n，2n+1Tn+Sn为定值．
2016年永州市第四中学高一年级期末考试数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
B
B
A
A
题号
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
D
A
C
D
13.
14.-6
15.314
16.
17.（1）∵cosα=且tanα＞0，
∴sinα==，
∴tanα===2．
（2）∵cosα=，sin，
∴===﹣5．
18.（Ⅰ）因为，故有（a+b）（sinA+sinB）﹣c（sinA﹣sinC）=0，
由正弦定理可得（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2﹣b2=ac，
由余弦定理可知，因为B∈（0，π），所以．
（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，由可知，
由正弦定理及有，
所以，
所以，
从而，
由可知，所以当，
即时，a+2c的最大值为，
此时，所以S=ac•sinB=．
19.（1）∵
=2cos（x+﹣+）sin（x+）
=﹣2[sin（x+）cos﹣cos（x+）sin]sin（x+）+
=sin2x+cos2x
=，
∴2k≤2x≤2k，k∈Z，可得解得：k≤x≤kπ﹣，k∈Z，
∴f（x）的递增区间为，k∈Z．
（2）∵，
∴或，解得或．
∵与共线，
∴sinB﹣2sinA=0，
∴由正弦定理可得，即b=2a，①
当时，
∵C=3，∴由余弦定理可得，②
联立①②解方程组可得
当时，
∵c=3，∴由勾股定理可得9=a2+b2，③
联立①③可得，，
综上，，或，．
20.（I）∵2（an+an+2）=5an+1，n∈N*，∴ =5anq，
化为2（1+q2）=5q，又q＞1，
解得q=2．
（II）a52=a10， =a1×29，解得a1=2．
∴an=2n．
∴=．
∴数列{}的前n项和Sn==．
22. 证明：（1）由λ=an+1，得，∴．
两边同除可得：，解得．
∵an＞0，∴为常数，
故数列是等比数列，公比为1；
（2）当λ=2时，，得2an+1=an（an+2），
∴．
∴，
又，
∴，
故2n+1Tn+Sn==2为定值．
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