一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.在等差数列中，，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.直线与圆的位置关系为（ ）
A．与相交 B．与相切
C．与相离 D．以上三个选项都有可能
4.已知的面积，则等于（ ）
A．-4 B． C． D．
5.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（ ）
A． B． C． D．
6.若，，则（ ）
A． B． C． D．
7.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 2016
3 5 7 9 … 4027 4029 4031
8 12 16 … 8056 8060
20 28 … 16116
该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）
A． B． C． D．
8.已知关于的二次方程在区间内有两个实根，若，则实数的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）
9.已知直线，则原点关于直线对称的点是 ；经过点且纵横截距相等的直线方程是 .
10.对正整数定义一种新运算“*”，它满足：①；②，则2*1= ； .
11.已知，，且，则 ； .
12.设实数满足，则的取值范围是 ；的取值范围是 .
13.直线被圆截得弦长为2，则的最小值为 .
14.已知数列的前项和为，当数列的通项公式为时，我们记实数为的最小值，那么数列，取到最大值时的项数为 .
15.已知正实数满足，则的取值范围是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. （本小题满分14分）
设函数，已知不等式的解集为.
（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）若对任意的实数都成立，求实数的取值范围.
17. （本小题满分15分）
已知.
（1）求的值；
（2）若为直线的倾斜角，当直线与曲线有两个交点时，求直线的纵截距的取值范围.
18. （本小题满分15分）
在中，角所对的边满足.
（1）求角的大小；
（2）若边长，求的最大值.
19. （本小题满分15分）
已知圆心在轴正半轴上的圆与直线相切，与轴交于两点，且.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于不同的两点，若设点为的重心，当的面积为时，求直线的方程.
备注：的重心的坐标为.
20. （本小题满分15分）
已知正项数列的前项和为，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；
（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题
BCADC DBD
二、填空题
9. ；或
10.
11.
12.
13.
14. 34
15.
16.解：已知，解为1,3，则
（1），所以，
（2）恒成立，
17.（1）
故
（2）由题意可知直线，而曲线为圆
的一部分（右半圆），当直线与圆有两个交点时，，故可得.
又曲线如图所示，
当直线过点时，，
所以参数的取值范围是.
18.（1）因为，故.
也即，又，
所以，
又，故.
（2）
令，，则
当时，.
另解：由余弦定理可知：
即，
故
所以，
当时，即时，
19.（1）解：由题意知圆心，且，
由知中，，，则，
于是可设圆的方程为
又点到直线的距离为，
所以或（舍），
故圆的方程为.
（2）的面积，
所以，
若设，则，即，
当直线斜率不存在时，不存在，
故可设直线为，代入圆的方程中，可得，
则
所以或
得或，
故满足条件的直线的方程为或.
20. （1），
当时，，
两式相减得：，
所以，
因为数列为正项数列，故，也即，
所以数列为以1为首项1为公差的等差数列，
故通项公式为.
（2）
所以，对任意正整数，都有成立.
（3）易知，则
①
②
①-②可得：
故
所以不等式成立，
若为偶数，则，所以
设，则在单调递减，
故当时，
所以
若为奇数，则，所以
设，则在单调递增，
故当时，
所以
综上所述，的取值范围或.
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