数学（理）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的共轭复数为( )
A． B． C． D．
2．“是假命题”是“为真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．给定函数①②③④，其中在区间上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．是两个向量，且，则与的夹角为( )
A． B． C． D．
5．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )
A． B． C． D．
6．等差数列的前项和，且，则过点和的直线的一个方向向向量是( )
A． B． C． D．
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )
A． B．0 C． D．
8．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有( )
A．35种 B．24种 C．18种 D．9种
9．设函数的最小正周期为，且，则( )
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递增 D．在单调递增
10．把周长为1的圆的圆心放在轴，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的大致图像为( )
A． B． C． D．
11．设满足约束条件，若目标函数（其中）的最大值为3，则的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12．点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的( )
A． B． C． D．2
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分
13．已知偶函数在单调递减，，若，则的取值集合是______．
14．已知展开式的常数项为15，则______．
15．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为______．
16．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．
三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）
17．（本小题满分12分）
在中，、、分别为内角、、的对边，且满足
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的外接圆的面积．
18．（本小题满分12分）
下图为某校语言类专业名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知分数段的学员数为21人．
（Ⅰ）求该专业毕业总人数和分数段内的人数；
（Ⅱ）现欲将分数段内的6名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男、女各几人（男、女人数均至少两人）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量表示名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，且，平面平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）在中，，三棱锥的体积是，求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．
21．（本小题满分12分）
设函数（其中为自然对数的底数，且），曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意，与有且只有两个交点，求的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线，过点的直线的参数方程为（为参数），与分别交于．
（Ⅰ）写出的平面直角坐标系方程和的普通方程；
（Ⅱ）若成等比数列，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
江西省新余一中、宜春一中2017届高三7月联考数学（理）试题
参考答案
1-5．CABCB 6-10．DBCAD 11-12．CC
13． 14． 15． 16．
17．解：（Ⅰ）∵，
∴
由正弦定理得
由余弦定理得，
又∵，∴………………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵，
∴
由正弦定理得，
18．解：（Ⅰ）分数段的毕业生的频率为，
此分数段的学员总数为21人，所以毕业生的总人数
，
所以分数段内的人数．………………………………………………………………4分
（Ⅱ）分数段内共6名毕业生，设其中男生名，则女生名．
设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件，
则，解得或9（舍去），
即6名毕业生中有男生2人，女生4人．………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）表示名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数，
所以的取值可以为：．
当时，；
当时，；
当时，．
所以的分布列为
0
1
2
所以随机变量的数学期望为．…………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）连结交于点，连结．
因为是平行四边形，所以为的中点．
又为的中点，所以．
平面，平面，所以平面．……………………………………………5分
（Ⅱ）因为在中，，
所以，所以，∴．
又因为平面平面，所以平面，
在平行四边形中，，所以为矩形，所以两两垂直．
如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，
因为为的中点，所以三棱锥的高为，
设，三棱锥的体积，解得．
则，
设，则．
设为平面的法向量，
则，即可取
又为平面的法向量，
由题设，
即二面角的大小是．…………………………………………………………………………12分
20．解：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得，
故椭圆方程为．……………………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）（1）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，
由得．
则．
由已知，可得，
所以．所以，整理得．
故直线的方程为，即．
所以直线过定点．
（2）若直线的斜率不存在，设方程为，
设，由已知，得，
此时方程为，显然过点．
综上，直线过定点．…………………………………………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）由，得
，……………………………………………1分
由题意得，……………………………………………………………………………………2分
∵，∴；……………………………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）令，则任意，与有且只有两个交点，等价于函数在有且只有两个零点，由，得，………………………………………………………………………………………5分
①当时，由得，由得，
此时在上单调递减，在上单调递增，
∵，
，（或当时，亦可），∴要使得在上有且只有两个零点，则只需，即，……………………7分
②当时，由得或，由得，此时在上单调递减，在和上单调递增．
此时，
∴此时在至多只有一个零点，不合题意，……………………………………………………9分
③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，
∴在至多只有一个零点，不合题意，………………………………………………………11分
综上所述，的取值范围为．……………………………………………………………12分
22．解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为；
直线的普通方程为．……………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得
．
设点分别对应参数，恰为上述方程的根．
则．
由题设得，即．
由（*）得，则有
，得，或．
因为，所以．………………………………………………………………………………………10分
23．解：（Ⅰ）由，有，
当且仅当，即时取“=”．所以．…………………………………………………4分
（Ⅱ）．
当，即时，，由，得．
当，即时，，由，得．
综上，的取值范围是．…………………………………………………………10分
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