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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析： ，，，故选D．
考点：不等式的解法和集合运算.
2．为虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
考点：复数的四则运算和复数的相关概念.
3．已知为实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析：由“且”能推出“且”；反之由“且”也能推出“且”，所以“且”是“且”的充分必要条件，故选C．
考点：不等式的性质与充要条件.
4．在中，则∠C的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，解得，所以，故选B.
考点：平面向量数量积的应用.
5.若曲线在点（0，b）处的切线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：导数的几何意义.
6．几何体的三视图如图一所示，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
图一
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体是由边长为2的正方体中挖去一个圆锥剩余的部分，因此
体积
，故选A.
考点：三视图与几何体的体积.
7．下列说法不正确的是（ ）
A.若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题
B.命题“”的否定是“”
C.“”是“为偶函数”的充要条件
D.当时，幂函数上单调递减
【答案】C
考点：复合命题的真假判断，存在性命题的否定，充要条件的判断及幂函数的单调性.
8．执行如图二所示的程序框图，如果输出，则判断框中应填（ ）
A． B． C． D．
图二
【答案】B
【解析】
试题分析：程序执行过程中的数据变化如下：
，不成立，输出，
故选B.
考点：程序框图中的条件循环结构.
9．如图三，在长方体 中，AB=BC=2，，则与平面所成角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
图三
【答案】D
考点：直线与平面所成角的求法.
10．双曲线的左焦点与抛物线的焦点的连线平行于该双曲
线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为双曲线的左焦点为，抛物线
的焦点为，双曲线的渐近线方程为，由题意，，故选C.
考点：双曲线的简单几何性质.
11．如下图，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过5分钟漏完， 是
该沙漏中沙面下降的高度，则与下漏时间（分）的函数关系用图象表示应该是（ ）
【答案】B
考点：函数图象的应用.
【方法点晴】本题考查函数图象，结合几何的形状特征，可采用特殊值法处理，还可以正面分析得出结论：若容器是圆柱形，则液面上升速度是常量，则漏斗中剩下液体的体积与成正比（一次项），根据圆锥体积公式，可以得出中，为正数，另外，与成反比，可以得出中，为正数．
12．设是定义在上的偶函数，对，都有，且当 时，
，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，
则的取值范围是（ ）
A．（1,2） B．（2，＋∞） C．（1,） D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为对于任意的，都有，所以函数的图象关于直线对称，又因为当时，，且函数是定义在上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有个不同的实数解，则函数与在区间上有三个不同的交点，如下图所示：又，则有，且，解得．
考点：函数图像与性质的综合应用及数形结合的数学思想.
【方法点晴】本题是一道结合函数图象来考查函数性质的综合题，首先是转化的数学思想把方程在区间上恰有个不同的实数根，转化为两个函数与在区间上有三个交点问题，再分别作出它们的图象，其中的图象是关键，给出了函数其奇偶性和周期，根据上的图象可以作出整个定义域上的图象，根据图象找到它们有三个交点的条件即可.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13．，则 _________ ．
【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：函数的表示方法.
14．设点满足，则的最大值为 ．
【答案】10
【解析】
试题分析：线性约束条件表示由直线围成的三角形及其内部，变形为，所以当最大时，直线的截距最大，由线性约束条件可知：当直线过的交点时，取得最大值.
考点：简单的线性规划.
15．若正项等比数列满足，，则公比 ．
【答案】
考点：等比数列的性质与基本量运算.
【方法点晴】结合等比（差）数列的通项公式和前项和公式，考查基本量运算是数列中常见题型，解题的关键是把题目条件转化为两个基本量首项、公比（公差）的方程或方程组，这一转化过程中要注意等比（差）数列性质的应用，特别是等比（差）中项的应用，这样可以简化运算过程，提高解题速度和准确率.
16.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其
中mn>0，则的最小值为_________．
【答案】2
【解析】
试题分析：由题意可得函数的图象恒过定点，又点在直线上，∴，∴=，当且仅当，时取“”可得，所以的最小值为.
考点：对数函数的图像与性质，均值不等式的应用.
【易错点晴】本题是结合对数函数的性质考查均值不等式的问题，函数图象可有对数函数的图象向上平移个单位得到，这一过程中要注意平移的方向“上加下减”否则点的坐标就错了，把点的坐标代入直线方程得到的关系“”， 部分考生可能这样处理：，，这样虽然结果是正确的，但思路是完全错误，其错误的根源在于忽略了均值不等式的应用前提和等号成立的条件，稍加变形将没有这么幸运；正确的解法应该是：把关系式“”变形为，最后求的最小值时，把的系数并用代换，变形为的形式，最后用均值不等式求出其最小值.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）在中，已知.
（Ⅰ）求sinA与角B的值；
（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.
试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，.
∵，且， . 6分
（Ⅱ）由正弦定理得，，
另由得，
解得或（舍去），，. 12分
考点：三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形.
18．（本题满分12分）如图，三角形是边长为4的正三角形，底面，，
点是的中点，点在上，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；（2）.
（2）解：在中，则,则
.
考点：空间垂直关系的应用和证明，直线与平面所成的角.
【方法点晴】证明面面垂直只能证明线面垂直，而要证明线面垂直就得证明线线垂直，结合题中已知的垂直条件，分析容易找到哪个平面的垂线，逐步完成证明，组织步骤时一定要思路条理；求棱锥的体积时关键是选择恰当的顶点和底面，原则是容易找到或作出底面的垂线即棱锥的高，这样可以达到事半功倍的效果.
19．（本题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，
从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图
中仅列出了得分在的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加
环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的人中至少有一个同学的成绩在的概率．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
（Ⅱ）由题意可知，分数在80，90）有5人，分别为，分数在90，100）有2人，分别为，共7人，从中任意抽取2个人共有如下21种不同方法 ：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中至少有一个同学的成绩在有11种，
所以至少有一个同学的成绩在的概率为.
考点：茎叶图，频率分布直方图及古典概型中的概率问题.
【方法点晴】本题把茎叶图和频率分布直方图结合起来考查统计问题，很有创意.茎叶图给出了的频数，频率分布直方图给出了样本中的频率，二者一联系，便得到样本容量，其他量的求解就容易多了；求解“至少”“至多”这类问题的概率，可直接求解，也可以间接求解，本题第二问是“从分以上的人中任取两人”只有两种情况，，所以直接求解即可.
20．已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与
轴的交
点为．
（Ⅰ）若，且，求实数的值；
（Ⅱ）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
试题解析：设直线l与椭圆的两个交点坐标为，
（Ⅰ），
．
（Ⅱ），，
由，代入上式得：
，
，
当且仅当时取等号，此时，
又，因此．
所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为．
考点：直线与椭圆位置关系的综合应用.
【方法点晴】在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，“设而不解”、“整体代入”是最常用的方法，其难点在于如何建立要解决的问题与交点坐标的联系即韦达定理如何应用，本题中由得到两个交点坐标间的定量关系，这样把韦达定理边长一个交点的坐标与参数的关系，同时对分解为两个有公共边的三角形和三角形，避免了直接用弦长公式求，在一定程度上简化了运算，提高了解题速度和准确率.
21.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.
试题解析：（Ⅰ） ，由，得，又，所以.所以的单调减区间为.
（Ⅱ）令，
所以.
当时，因为，所以.所以在上是递增函数，
又因为，所以关于的不等式≤不能恒成立.
当时，，令，得.所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数，故函数的最大值为.
令，因为，，又因为在是减函数.所以当时，.所以整数的最小值为2.
考点：利用导数研究函数的单调性，极值、最值和分类讨论的数学思想.
【方法点晴】本题是一道导数的综合应用问题，正确求导是得分的前提，在求函数的单调区间时要把握好定义域优先的原则，不少考生没有这种意识，思路很对，一分不得实在可惜；在“恒成立”问题中，通常转化为求函数的最值，通常有两种处理方法，一是分离参数求最值，这需要参数容易分离且分离后得到的函数单调性容易研究，二是构造新函数直接求最值，在实际应用中，要根据函数的不同灵活选择最佳方法.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当时，求的长．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（I）连接，可证∽，再结合三角形的内角平分线定理，得证；（II）在（I）证明的基础上，由圆的割线定理可建立关于的方程来求解.
试题解析：（Ⅰ）连接,因为是圆内接四边形，所以又
∽,即有 又因为，可得
因为是的平分线，所以,
从而．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）由条件知，设，则，
根据割线定理得,即
即，解得或（舍去），则
考点：三角形内角平分线定理，三角形相似及圆的割线定理.
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线
，曲线C与有且仅有一个公共点．
（1）求的值；
（2）O为极点，A，B为C上的两点，且，求的最大值．
【答案】(1)；(2) ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可求得的值；
（Ⅱ）不妨设的极角为，的极角为，则
，利用三角函数的单调性即可求得其最大值.
试题解析：（Ⅰ）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；直线的直角坐标方程为x＋y－3＝0．
由直线l与圆C相切可得＝a，解得a＝1．
（Ⅱ）不妨设的极角为θ，的极角为，则|，所以当时，取得最大值．
考点：简单曲线的极坐标方程及其应用.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）解关于的不等式；
（Ⅱ）设的解集非空，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅱ）原不等式等价于的解集非空,令，即
，由，所以所以.
考点：绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和不等式有解问题.
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