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必修五知识方法回顾(二)
数列一
一、基础知识
（一）数列的定义
（1）按照① 的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫② .
（2）数列与函数的关系
从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N*或N*的有限子集|1,2，3，…，n|为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
2.数列的分类
3.通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子：来表示，那么这个公式叫做这个数列的⑥ .
4.递推公式
如果已知数列的⑦ （或前几项），且从第二项（或某一项）开始任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列的递推公式.
5.数列的前项和及其与通项的关系
（1）；
（2）⑧ .
注意：利用与的关系求时，一定要验证“”的情况.
参考答案
①一定顺序排列 ②首项 ③有限 ④无限 ⑤＜ ⑥通项公式
⑦第一项 ⑧
（二）等差数列
（Ⅰ）等差数列的有关概念
1.定义
一般性，如果一个数列从① 起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的② ，通常用字母③ 表示.
2.通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是④ .
3.等差中项
如果⑤ ，那么叫做与的等差中项.
4.前项和公式
设等差数列的公差为，则其前项和⑥ 或⑦ .
（Ⅱ）等差数列的性质
1.等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：.
（2）若是等差数列，且，则.
（3）若是等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为.
（4）若，是等差数列，则（是常数）仍是等差数列.
（5）若是等差数列，则，，，…（组成公差为的等差数列.
2.与等差数列各项的和有关的性质
（1）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，公差是的公差的.
（2）分别为的前项，前项，前项的和，则成等差数列.
（3）关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
若项数为，则，.
若项数为，则，，，.
（4）若两个差数列数、的前项和分别为、，则.
参考答案
①第二项 ②公差 ③ ④，
⑤ ⑥ ⑦
（三）等比数列
1.等比数列的有关概念
（1）定义：一般地，如果一个数列从① 起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的② ，通常用字母③ 表示.
（2）通项公式：如果等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式是④ .
（3）等比中项：如果三个数，，成等比数列，则叫做和的⑤ ，且，即⑥ .
（4）前项和公式：
2.等比数列的性质
已知等比数列的前项和为.
（1）数列，，（是等比数列），，等也是等比数列.
（2）数列，，，，仍是等比数列.
（3）若，则⑧
特别地，若，则⑨
（4）＝
（5）当的公比（或且为奇数）时，数列，，，…是等比数列.
（6）当是偶数时，；
当是奇数时，
参考答案：
①第二项 ②公比 ③ ④ ⑤等比中项
⑥ ⑦ ⑧ ⑨
二、基本方法
方法1 利用与的关系求通项
利用求通项时，要注意检验的情况.
方法2 利用递推关系求数列的通项
已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.
1.形如时，用累加法求解.
2.形如时，用累乘法求解.
3.形如时，构造等差数列求解，形如时，构造等比数列求解.
例1 根据下列条件，确定数列的通项公式
（1）；
（2），；
（3），.
方法3 利用通项公式求数列最大（小）项的常用方法求数列最大项、最小项的常用方法：
（1）增减性法：利用数列的增减性求解.
（2）转折项法：利用不等式组求最大项；利用不等式组求最小项.
例2 已知数列的通项公式是，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.
方法4 等差数列的基本运算
等差数列的基本运算方法
（1）等差数列可以由首项和公差确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕和进行.
（2）对于等差数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程（组）求出，.如果再给出第三个条件，就可以完成，，，，的“知三求二”问题.
例3 等差数列的前项和为，若，则等于（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
方法5 等差数列前项和的最值问题
求等差数列的前项和的最值的方法：
例4 等差数列中，设为其前项和，且，则当为多少时，最大？＝ .
方法6 等比数列的基本运算
等比数列的基本运算方法
（1）等比数列可以由首项和公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕和进行.
（2）对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程（组）求出，.如果再给出第三个条件就可以完成的“知三求二”问题.
例5 在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是
方法7 等差、等比数列综合问题的解法
（1）在解决等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法，但用“基本量法”并树立“目标意识”“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果.
（2）等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即为等差数列（且
）为等比数列；为正项等比数列且）为等差数列.
例6 数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则 .
三、习题归类跟踪
1.已知数列的前项和满足：，且，那么（ ）
A.1 B.9 C.10 D.55
2.设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（ ）
A. B.
C. D.
4.设等差数列的前项和为，，，，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
5.已知等比数列满足，则（ ）
A.21 B.42 C.63 D.84
6.等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7.等比数列中，，，则数列的前8项和等于（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
8.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”，现有定义在上的如下函数：
①；②；③；④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
9.设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（ ）
A.若，则数列有最大项
B.若数列有最大项，则
C.若数列是递增数列，则对任意，均有
D.若对任意，均有，则数列是递增数列
10.设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
11.若数列的前项和，则的通项公式是
12.若等差数列满足，，则当 时，的前项和最大.
13.若等比数列的各项均为正数，且，则
14.在正项等比数列中，，则的最小值是
15.设数列的前项和，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值.
16.在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.
17.设数列的前项和为，已知.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和.
18.设等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且（为常数），令（），求数列的前项和.
19.已知数列满足.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明.
高一数学必修五知识方法回顾(二)
例1 解析（1）因为，所以，
所以.
当时，，符合上式，所以.
（2）因为，
所以，，，
由累乘法可得.
又符合上式，∴.
（3）因为，所以，所以
，所以数列为等比数列，公比，又，
所以，所以.
例2 解析 解法一：∵，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
∴该数列中有最大项，为第9、10项，
且.
解法二：根据题意，令，
即解得.
又，
∴或，
∴该数列中有最大项，为第9、10项，
且.
例3 解析：∵，
∴.
∵，∴.
∴.故选C.
例4 解析：解法一：由，可得，即.
从而，
因为，所以.
故当时，最大.
解法二：由解法一可知，.
要使最大，则有
即
解得，故当时，最大.
解法三：由，可得，
即，
故，又由，可知，
所以，，所以当时，最大.
例5 解析：由，两边都除以，得，即，∴.
∵，∴.
答案：4
例6 解析：设的公差为，则，，由题意可得
∴，
∴，
∴，∴，
∴公比.
答案：1
三、习题归类跟踪
1.A 解析：，故选A.
2.C 解析：为递减数列，可知也为递减数列，又
，故，故选C.
3.B 解析：由，得，整理得，又，∴，又∵，∴，故选B.
4.C 解法一：∵，，，
∴，，∴公差，
由.
得
由①得，代入②可得.
解法二：∵数列为等差数列，且前项和为，
∴数列也为等差数列
∴，即，解得.
经检验为原方程的解，故选C.
5.B 解析：设的公比为，由，得，解得（负值舍去）.
∴
6.C 解析：由已知条件及得，
设数列的公比为，则.
所以，得，故选C.
7.C 解析：由题意知，
∴数列的前8项和等于
.故选C.
8.C 解析：验证①，③，∴①③为“保等比数列函数”，故选C.
9.C 解析：因为，所以是关于的二次函数，当时，有最大值，即数列有最大项，故命题正确，若有最大项，即对于，有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即，故命题正确.而若，则数列为递增数列，此时，故C命题错误.若对于任意的，均有，则，且对于恒成立，∴，即命题D正确，故选C.
10. C 解析：因为为等差数列，所以，当时，得公差
，∴，∴，∴，即，故选C.
11. 解析：由得：当时，
，∴当时，，
又时，，，
∴
12.答案：8
解析：根据题意知，即.
又，∴，∴当时，的前项和最大.
13.答案：50
解析：因为等比数列中，，所以由，可解得
.
所以
14.答案：20
解析：设等比数列的公比为，则由条件，得，，据知，，从而
，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为20.
15.解析：（1）由已知，
有，
即.
从而，.
又因为成等差数列，
即.
所以，解得.
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
（2）由（1）得，
所以
由，得，即.
因为，
所以.
于是，使成立的的最小值为10.
16.解析 （1）因为是一个等差数列，
所以，.
设数列的公差为，则，故.
由得，即.
所以.
（2）对，若，则
因此，故得，
于是
17.解析：（1）因为，所以，故，
当时，，
此时，即，所以
（2）因为，所以，
当时，.
所以；
当时，
，
所以，
两式相减，得
所以.
经检验，时也适合.
综上可得
18.解析：（1）设等差数列的公差为.
由，得
解得，
因此
（2）由题意知：
所以时，
故
所以
则，
两式相减得
.
整理得.
所以数列的前项和.
19.解析 （1）由得.
又，所以是首项为，公比为3的等比数列.
，因此的通项公式为.
（2）由（1）知.
因为当时，，所以.
于是
.
所以.
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