山东省武城县第二中学2016届高三数学（人教版）必修五知识方法回顾(三) Word版（含答案）.doc

www.ks5u.com 高一数学必修五知识方法回顾(三)‎ 数列（二）‎ 一、基础知识 ‎1.求数列的前项和的方法 ‎(1)公式法 ‎(i)等差数列的前项和公式 ‎① =② .‎ ‎(ii)等比数列的前项和公式 当时，；‎ 当时，③ =④ .‎ ‎(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.‎ ‎(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.‎ ‎(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.‎ ‎(5)倒序相加：把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前项和公式的推导方法.‎ ‎2.常见的拆项公式 ‎(1)；‎ ‎(2)；‎ ‎(3)；‎ ‎(4)；‎ ‎(5)；‎ ‎(6)；‎ ‎(7)若为等差数列，公差为()，则 ‎3.常见数列的前项和 ‎(1)；‎ ‎(2)；‎ ‎(3)；‎ ‎(4)；‎ ‎(5)‎ 参考答案：①；②；③；④‎ 二、基本方法 方法1 错位相减法求和 ‎1.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法.‎ ‎2.用错位相减法求和时，应注意：‎ ‎(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.‎ ‎(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式.‎ ‎(3)应用等比数列求和公式必须注意公比这一前提条件，如果不能确定公比是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常考查.‎ 例1 已知首项都是1的两个数列，满足.‎ ‎(1)令，求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前项和.‎ 方法2 裂项相消法求和 ‎1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式数列的求和多用此法.‎ ‎2.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，有些情况下，裂项时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.‎ 例2 正项数列的前项和满足：.‎ ‎(1)求数列的通项；‎ ‎(2)令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有.‎ 三、习题归类跟踪 ‎1.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知数列的通项公式为，是数列的前项和，则( )‎ ‎ A.0 B. C. D.‎ ‎4.设是数列的前项和，且，则 ‎ ‎5.已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程的两个根，则 ‎ ‎6.已知是等差数列，，公差，为其前项和，若，，‎ 成等比数列，则 ‎ ‎7.已知等差数列满足，且，，成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎8.为数列的前项和，已知，.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎9.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，.‎ ‎(1)求数列与的通项公式；‎ ‎(2)记，，证明.‎ ‎10.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.‎ ‎(1)求等差数列的通项公式；‎ ‎(2)若成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎11.数列满足：.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求数列的前项和；‎ ‎12.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)令，求数列的前项和.‎ 高一数学必修五知识方法回顾(三)‎ 数列（二）参考答案 例1 解析：(1)因为，(，所以，即.‎ 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.‎ 故.‎ ‎(2)由知，‎ 于是数列的前项和.‎ ‎，‎ 相减得，‎ 所以.‎ 例2 解析：(1)由，得.‎ 由于是正项数列，所以，.‎ 于是，时，.‎ 综上，数列的通项.‎ ‎(2)证明：由于，，‎ 则.‎ 所以 ‎.‎ 三、习题归类跟踪 ‎1.A 解析：由及得，‎ ‎∴ ，，∴，，所以数列的前100项和，故选A.‎ ‎2.D 解析：由题意得，又公差，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ 故选D.‎ ‎3.B　解析 所以 ‎4.答案：‎ 解析：∵，∴，‎ 又由，知，∴，‎ ‎∴是等差数列，且公差为，而，∴，‎ ‎∴.‎ ‎5. 63 解析：，是方程的两个根且是递增数列，故，，故公比，.‎ ‎6. 64 解析：由成等比数列，得，即，‎ 解得(舍去)，.‎ ‎7.解析　（1）设数列的公差为，依题意，，，成等比数列，故有，‎ 化简得，解得或.‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 从而得数列的通项公式为或.‎ ‎（2）当时，，显然，‎ 此时不存在正整数，使得成立.‎ 当时，.‎ 令，即，‎ 解得或（舍去）‎ 此时存在正整数，使得成立，‎ 的最小值为41.‎ 综上，当时，不存在满足题意的；‎ 当时，存在满足题意的，其最小值为41.‎ ‎8.解析：（1）由，可知.‎ 可得，即 ‎.‎ 由于，可得.‎ 又，解得（舍去）或 所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为.‎ ‎（2）由可知.‎ 设数列的前项和为，则 ‎9.解析　（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由，得，，.‎ 由条件，得方程组解得 所以.‎ ‎（2）证法一：‎ 由（1）得， ①‎ ‎ ②‎ 由②—①，得 ‎.‎ 而，‎ 故，.‎ 证法二：数学归纳法 ‎（i）当时，，，故等式成立 ‎（ii）假设当时等式成立，即，则当时有：‎ ‎，‎ 即，因此时等式也成立.‎ 由（i）和（ii），可知对任意，成立 ‎10.解析　（1）设等差数列的公差为，则，，由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 或.‎ 故或.‎ ‎（2）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，分别为，‎ 成等比数列，满足条件.‎ 故 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎.‎ 当时，满足此式 综上，‎ ‎11.解析：(1)当时，；当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ ‎(2)当时， ①‎ ‎ ②‎ 由①～②得，，所以，‎ 经检验，也适合上式，所以()‎ 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.‎ 所以.‎ ‎12.解析：(1)因为，，‎ ‎，‎ 由题意得，‎ 解得，所以.‎ ‎(2)‎ 当为偶数时，‎ ‎.‎ 当为奇数时，‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎(或)‎