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高一数学必修五知识方法回顾(四)
不等式
一、基础知识
(一)不等关系与不等式
1.不等式的定义
一般地，我们用数学符号>、
（二）不等式的解法
1.不等式：若，解集为① ；若，解集为；若，当时，解集为② ，当时，解集为③
2.一元二次不等式
3.如果一元次不等式可以转化为
(其中的形式，那么求解时，一般先在数轴上标区间、，，，时，由于的值的符号在上述区间自右至左依次为+、－，+、－、…，所以正值区间为的解集.
4.分式不等式
（1）⑩ （2） .
5.绝对值不等式的解法
（1）
（2）
（3）
（4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用 的方法脱去绝对值符号求解，也可以用图象法去求解.
参考答案
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
或
零点分区间
（三）基本不等式及不等式的应用
1.基本不等式
（1）基本不等式成立的条件：①
（2）等号成立的条件：当且仅当② 时取等号.
（3）设，则的算术平均数为③ ，几何平均数为④ ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.几个重要不等式
（1）；；；.
（2）.
（3）
（4）特殊地：
3.利用基本不等式求最值问题
已知，则
（1）如果积是定值，那么当且仅当⑧ 时，有⑨ 值，是⑩ （简记：积定和最小）
（2）如果和是定值，那么当且仅当 时，有 值，是 （简记：和定积最大）
4.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
（1）恒成立问题：若在区间上存在最小值，则不等式在区间上恒成立 （.
若在区间上存在最大值，则不等式在区间上恒成立 .
（2）能成立问题：若在区间上存在最大值，则在区间上存在实数使不等式成立 ..
若在区间上存在最小值，则在区间上存在实数使不等式成立 （）.
（3）恰成立问题：不等式在区间上恰成立的解集为；
不等式在区间上恰成立的解集为.
5.解不等式的实际应用题的一般步骤
参考答案
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
⑧ ⑨最小 ⑩ 最大
二、基本方法
方法1 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式，当时，若相应一元二次方程的判别式，则求出两根，根据“大于在两边，小于夹中间”写出解集；若或（这是特殊情形），则利用相应二次函数的图象写出不等式的解集.
例1 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
方法2 一元二次不等式恒成立问题
（1）解决恒成立问题一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数.
（2）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在轴下方.
例2 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是
方法3 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的注意事项
1.在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可.
2.若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值，当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.
例3 若实数满足，则的最小值为
方法4 不等式的综合运用
利用条件将问题正确分解或等价转化是解决不等式综合问题的常用方法.
例4 已知函数若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
方法5 利用不等式解决应用问题的方法
（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提练出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
（2）经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及等，解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质、基本不等式、函数的单调性或导数来解决.
三、习题归类跟踪
1.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.若，，则一定有（ ）
A. B. C. D.
3.若，且，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7.设正实数满足.则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A.0 B.1 C. D.
8.下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
9.设，，则当 时，取得最小值.
10.设，且，则的最小值为 .
高一数学必修五知识方法回顾(四)
不等式
例1 依题意知的解集为，令，解得. 答案：D
例2 解：要满足对任意恒成立
只需即 解得.
答案：
例3 解析：∵，当且仅当时取“＝”，∴的最小值为. 答案：
例4 解析：由题意作出的图象：
当时，与的图象在时必有交点，所以.当时，显然成立；当时，，恒成立恒成立，又，∴.∴，故选D.
答案：D
三、习题归类跟踪
1.D 解析：∵，，∴，∴.
2.D 解析：解法一：
.
解法二：依题意取，，，，代入验证得均错，只有D正确.
3.D 解析：对A：当时满足，但，所以A错；对B、C：当时满足，但，，而，，显然
不对；对D：当时，由均值定理知，故选D.
4.C 解析：由得
解得则有，由，得.
5.C 解析：矩形的一边长为，则由相似三角形得其邻边长为，故矩形面积，由得，解得.
6.A 解析：不等式，，∴不等式的解集为.
7.B 解析：由，得，
. 又为正实数，∴.
当且仅当时取等号，此时.
∴
当，即时，上式有最大值1，故选B.
8.C 解析：，即
，当时，，
∴A错；当时，，∴B错；
，∴C正确；当时，，∴D错.
9.答案：－2 解析：∵，
∴.
当且仅当且，即，时，取得最小值.
10.答案：9 解析：∵且，
∴
当且仅当，即时，取得最小值9.
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