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第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 若复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：复数的运算，复数的概念．
2. 命题“或”的否定形式是（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
【答案】D
【解析】
试题分析：命题“或”的否定形式“且”．故选D．
考点：命题的否定．
3. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：，，所以，
，，
所以．故选A．
考点：同角间的三角函数关系．
4. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：函数的单调性．
5. 已知随机变量，随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：，，因此．故选C．
考点：正态分布．
6. 若在双曲线上，为左焦点，，则（ ）
A．1 B．1或17 C．41 D．17
【答案】D
【解析】
试题分析：，，若在双曲线右支上，则，因此
在双曲线的左支上，所以，．故选D．
考点：双曲线的定义．
7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，
其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥
的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近
似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：圆锥的体积．
8. 淮北一中有5名优秀毕业生到市内一所初中的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名同学的不
同分派方法种数为（ ）
A．150 B．180 C．200 D．280
【答案】A
【解析】
试题分析：．
考点：排列组合的综合应用．
【名师点睛】解决分组分配问题的策略
1．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
2．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
3．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
9. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
考点：程序框图，周期数列．
10. 现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，，且实数指数幂的运算
性质对都适用，若，，那么复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：
．故选A．
考点：复数的运算，二项式定理．
11. 如图，网格上纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：三视图，体积．
【名师点睛】象这种画在方格纸中的三视图，常常可以看作是由基本几何体（如正方体、长方体）切割出的几何体的三视图，因此由这样的三视图作直观图时，可以画出正方体（或长方体），在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图．
12. 已知实数，设方程的两个实根分别为，则下列关系
中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：方程可化为，记
，这是二次函数，又，同理，，由二次函数的图象知必有．故选B．
考点：二次函数的图象与性质．
【名师点睛】二次函数与一元二次方程，一元二次不等式常称为“三个二次”问题，在研究它们三者之一的问题时，常考虑三者之间的相互联系，借助这种联系而解题，解题时二次函数的图象起到重要的桥梁作用．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13. 若变量满足约束条件，且的最小值为-6，则_______________．
【答案】－2
考点：简单的线性规划问题．
14. 如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角
，点的仰角以及；从点测得．已知山高
，则山高__________．
【答案】150
考点：解三角形的应用．
15. 数列 中，，则此数列的通项公式___________．
【答案】
【解析】
试题分析：由得，所以，又，所以是等比数列，所以，即．
考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式．
【名师点睛】已知数列的递推公式，我们可以把它配成一个等比数列：设，由此可求得，只要，则新数列是等比数列，从而易求得通项公式．
16. 为椭圆上的任意一点，为圆的任一条直径，则的取值范
围是____________．
【答案】
考点：向量的数量积，椭圆的性质．
【名师点睛】求向量数量积的取值范围，要把数量积用一个变量表示出来，本题中，表面上点都在变化，仔细观察，发现是圆的直径，其中点为圆心是不变的，而且由向量的加法运算，有，，是模为1的相反向量，因此由数量积的运算法则得，此时变化的只有一个点，根据椭圆性质可很快得结论．这题提醒我们在一个变量很多的问题中，一定隐藏着不变量，解题时要善于寻找到这个不变量，减少变量的个数．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆于点，过作轴于点；
（1）若点的纵坐标为，求点的横坐标；
（2）求的面积的最大值；
【答案】（1）；（2）
（2）因为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
又，所以，所以当，
则时，取得最大值，所以的最大值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：三角函数的定义，两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的性质．
18. （本小题满分12分）
如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，．
（1）求证：；
（2）若，点在平面上的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
试题解析：（1）因为侧面为菱形，所以，又，所以，
从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
考点：用向量法证明线线垂直、求二面角．
【名师点睛】(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平
行和垂直以及求空间角、距离的关键．
(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
(3)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．
(4)求二面角，只要先求得两平面的法向量，两法向量的夹角与二面角相等或互补．
(5)求直线与平面所成角，利用直线与平面的法向量的夹角与线面角互余可得．
证明线线垂直，也可直接利用空间向量基本定理，证明两直线的方向向量的数量积为0．
19. （本小题满分12分）
由于全力备战高考，造成高三学生视力普遍下降，现从我市所有高三学生中随机抽取16名学生，经医生用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求医生从这16人中随机选 取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计全市的总体数据，若从我市考生中（人数很多）任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数；4.75；（2）；（3）分布列见解析，期望为．
考点：茎叶图，众数，中位数，古典概型，随机变量分布列与数学期望．
20. 已知抛物线的标准方程为，为抛物线上一动点，为其对称轴上一点，直线与抛物线的另一个交点为．当为抛物线的焦点且直线与其对称轴垂直时，的面积为18．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）记，若值与点位置无关，则称此时的点为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）稳定点为．
【解析】
试题分析：（1）由已知为通径，因此，由可求得；（2）定点问题处理，设，设直线的方程为，代入抛物线方程，由韦达定理得，
计算，按和分类后讨论可得取特定值时与无关，即为稳定点．
②时，∵，∴异号．
又，
∴，
∴仅当，即时，与无关，稳定点为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【备注：此题第2问若证明焦点满足给4分！】
考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系．
【名师点睛】在解析几何中，求直线上两点间距离，可利用直线的斜率简化距离公式：是直线上的两点，则，而，只要利用韦达定理就可得．
21. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求证：．
【答案】（1），（2）证明见解析．
（2），函数有两个相异的极值点，即有两个不同的实数根．
①当时，单调递增，
不可能有两个不同的实根；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
②当时，设，
考点：导数的几何意义，导数的综合应用．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆上的两点，为圆外一点，连结分别交圆于点，且，连结并延长至，使．
（1）求证：；
（2）若，且，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
（2）因为，所以，则，
所以，
又因为，所以，
所以，所以．
考点：全等三角形的判定，切割线定理，相似三角形的判断与性质．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为
，与直线的交点为，求线段的长．
【答案】（1）；（2）．
考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标的应用．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-3．
（1）求整数的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
（2）因为的图象恒在函数的上方，故，
所以对任意恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
设，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
则在是减函数，在上是增函数，所以当时，取得最小值4，
故时，函数的图象恒在函数的上方，
即实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：解绝对值不等式，绝对值的性质，不等式恒成立．
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