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第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）.
1. 若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：集合的运算．
2. 已知是虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：．故选C．
考点：复数的模．
3. 从1，3，5，7这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：任取两个数组成个两位数，5的倍数有个，概率为．故选C．
考点：古典概型．
4. 椭圆的右焦点到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
考点：椭圆的性质，点到直线的距离．
5. 若点在直线上，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由在直线上，则终边可能在第二象限也可能在第四象限，终边在第二象限时，，，终边在第四象限时，，，所以．故选A．
考点：三角函数的定义，二倍角公式．
6. 南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设得金最多的数为数列首项，公差为，则，解得，因此每等人比下等人多得斤．故选B．
考点：等差数列的和．
7. 函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
考点：函数的图象．
【名师点睛】函数图象的确定，一般可研究函数的性质：奇偶性、单调性、周期性、对称性（轴对称，中心对称），研究函数图象的特殊点：顶点，极值点，特别是与坐标轴的交点，研究函数值的正负，函数值的变化趋势等等．
8．已知，若，则等于（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
【解析】
试题分析：设，可证是奇函数，，则，所以，．故选B．
考点：函数的奇偶性．
9. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）
A．1007 B．2015 C．2016 D．3024
【答案】D
考点：程序框图，分组求和．
10. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：抛物线的准线为，点在准线上，因此，，于是，，双曲线的渐近线为，因此，，所以双曲线方程为．故选C．
考点：双曲线的标准方程．
11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长等于（ ）
A．6 B． C．4 D．8
【答案】B
考点：三视图．
【名师点睛】象这种画在方格纸中的三视图，常常可以看作是由基本几何体（如正方体、长方体）切割出的几何体的三视图，因此由这样的三视图作直观图时，可以画出正方体（或长方体），在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图．
12. 定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：新定义，一元二次方程根的分布．
【名师点睛】设，方程的两根为，
（1）在上有一根，则；
（2）两根都大于，则；
（3）两根都小于，则；
（4）一根大于，一根小于，则；
（5）两根都在区间上，则两根都大于，则．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，若，则___________．
【答案】－3
考点：向量的垂直．
14. 已知变量满足约束条件，则的最大值为___________．
【答案】11
【解析】
试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平行直线，Z增大，当过点时，取得最大值11．
考点：简单的线性规划问题．
15. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为4，则直三棱柱
外接球的半径的最小值为__________．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，设的中点分别为，则线段的中点是三棱柱外接球的球心．设，，则，，外接球半径为，，当且仅当时取等号．因此最小值为．
考点：三棱柱与外接球．
【名师点睛】几何体的外接球问题，关键是找到外接球球心，由于球心到各个顶点的距离相等，根据球截面的性质：球心与截面圆圆心连线与截面圆所在平面垂直，在找球心时要首先找几何体各个面的外接圆圆心，过此外心作这个面的垂线，球心一定在这条垂线上．由此可得球心位置．象本题设的中点分别为就是底面外接圆圆心，与底面垂直．球心一定在上，再由对称性知中点就是球心．
16. 已知函数且，在各项为正的数列中，的前项和为，若，则____________．
【答案】6
考点：分段函数，等比数列的通项公式与前项和．
【名师点睛】本题考查分段函数与数列的递推公式，同时考查了等比数列的前项和公式．首先要正确理解分段函数的概念，正确地求出参数，其次在由求得数列递推式时，要注意验证函数的定义域，即只要，则必须，这样递推式才是一致的，否则易出错．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知向量，设．
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）在中，分别为内角的对边，且，求的面积．
【答案】（1），单调递增区间为，；（2）．
考点：向量的数量积，二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理，三角形面积．
18.
2016年1月19日，习近平主席开启对沙特、埃及、伊朗为期5天的国事访问，某校高二文科一班主任为了解同学们对此事关注情况，在该班进行了一次调查，发现在全班50名同学中，对此事关注的同学有30名，该班在本学期期末考试中政治成绩（满分100分）的茎叶图如下：
（1）求“对此事不关注者”的政治期末考试成绩的中位数与平均数；
（2）若成绩不低于60分记为“及格”，从“对此事不关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为，从“对此事关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为，求的值；
（3）若成绩不低于80分记为“优秀”，请以政治成绩 是否优秀为分类变更．
①补充下面的列联表：
政治成绩优秀
政治成绩不优秀
合计
对此事关注者（单位：人）
对此事不关注者（单位：人）
合计
②是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中．
【答案】（1）中位数：65，平均数：66.7；（2）；（3）①列联表见解析；②没有90%以上的把握认为“此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系．
考点：中位数，平均数，古典概型，列联表，独立性检验．
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，为与的交点，为棱上一点．
P
E
A
O
D
C
B
（1）证明 ：平面平面；
（2）若是中点，求点平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
（2）是中点，连结，则，
平面，且.
，
设点平面的距离为，
考点：面面垂直的判断，点到平面的距离．
【名师点睛】求点到平面的距离可根据定义，作出这个距离（即由点向平面作垂线，求点到垂足的线段长，有时垂直已经存在，只要证明垂直即可.在三棱锥中，三棱锥的顶点到底面的距离就是棱锥的高，如果换一个角度棱锥的体积易求，则可用体积法来求距离．
20. 如图，已知为原点，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点
（点在点的右侧），且，椭圆过点，且焦距等于．
（1）求圆和椭圆的方程；
（2）若过点斜率不为零的直线与椭圆交于两点，求证：直线与直线的倾角互补．
【答案】（1）圆；椭圆；（2）证明见解析．
设,则． 因为
，
， 所以．
当或时,,此时方程①,,不合题意.
∴直线与直线的倾斜角互补．
考点：圆的标准方程，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．
【名师点睛】在解析几何中，直线与圆锥曲线相交问题，都是设交点为，把直线与圆锥曲线方程联立消元后可得（有时得），然后计算与交点有关的斜率，距离，证明常数，或列方程求得直线方程中的参数．本题就是计算，证明它为零即可．
21. 已知函数．
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
考点：导数与函数的最值，不等式恒成立与导数的综合应用．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆上的两点，为圆外一点，连结分别交圆于点，且，连结并延长至，使．
（1）求证：；
（2）若，且，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
（2）因为，所以，则，
所以，
又因为，所以，
所以，所以．
考点：全等三角形的判定，切割线定理，相似三角形的判断与性质．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．
【答案】（1）；（2）．
所以，所以线段的长为2．
考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标的应用．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-3．
（1）求整数的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
（2）因为的图象恒在函数的上方，故，
所以对任意恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
设，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
则在是减函数，在上是增函数，所以当时，取得最小值4，
故时，函数的图象恒在函数的上方，
即实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：解绝对值不等式，绝对值的性质，不等式恒成立．
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