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2015-2016学年河南省焦作市高一（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（每题5分）
1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（ ）
A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}
2．若sinαcosα＜0，则角α的终边在（ ）
A．第二象限 B．第四象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣8 D．10
5．函数f（x）=x﹣4+log2x的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
6．已α，β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（ ）
A．[0，2] B．[1，2] C．[0，1] D．[﹣1，5]
8．过（2，2）点且与曲线x2+y2+2x﹣2y﹣2=0相交所得弦长为的直线方程为（ ）
A．3x﹣4y+2=0 B．3x﹣4y+2=0或x=2
C．3x﹣4y+2=0或y=2 D．x=2或y=2
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．π B．π C．8π D．16π
10．函数y=的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
二、填空题（每题5分）
13．已知函数f（x）=，则的值是 ．
14．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为 ．
15．某次考试后，抽取了40位学生的成绩，并根据抽样数据制作的频率分布直方图如图所示，从成绩为[80，100]的学生中随机抽取了2人进行某项调查，则这两人分别来自两个不同分数段内的频率为 ．
16．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在平面BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体中有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值是；
②三棱锥B﹣ACE的体积是a3；
③直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．
④平面EAB⊥平面ADE．
其中错误叙述的是 ．
三、解答题
17．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
18．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．
区间
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50]
人数
25
a
b
（1）求正整数a，b，N的值；
（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．
19．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，如图所示．
（1）求函数解析式；
（2）若方程f（x）=m在[﹣，]有两个不同的实根，求m的取值范围．
20．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．
21．已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若（O为原点），求向量与夹角的大小；
（2）若，求sin2α的值．
22．已知直线l：y=kx+1与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于A，B两点
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，若f（k）=[S（k）•（k2+1）]2，求f（k）的最大值．
2015-2016学年河南省焦作市高一（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分）
1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（ ）
A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}
【考点】交集及其运算．
【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．
【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，
则A∩B={3，5}．
故选：B．
2．若sinαcosα＜0，则角α的终边在（ ）
A．第二象限 B．第四象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【考点】三角函数值的符号．
【分析】由题意转化为正弦函数，余弦函数的符号，然后确定角α的终边所在象限．
【解答】解：因为sinαcosα＜0，所以或，所以角α的终边在四、二象限；
故选C．
3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．
【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，
基本事件总数n==10，
甲被选中包含的基本事件的个数m==4，
∴甲被选中的概率p===．
故选：B．
4．已知过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣8 D．10
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】先由已知条件求出过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线的斜率和直线2x+y﹣1=0的斜率，再由两直线平行斜率相等的性质能求出m的值．
【解答】解：∵过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，
∴k==﹣2，
解得m=﹣8．
故选：C．
5．函数f（x）=x﹣4+log2x的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】连续函数f（x）=log2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增且f（2）=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0，根据函数的零点的判定定理可求
【解答】解：∵连续函数f（x）=log2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增
∵f（2）=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0
∴f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3）
故答案为 C
6．已α，β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．
【分析】①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊆α，
②由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，
③若直线l上的两个点到平面α的距离相等，则直线l∥α或直线l∩α=M，且在直线上的点到M的距离相等的点满足条件
④一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个
【解答】证明：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊆α，故①错误
②由l∥β，可知在平面β内存在直线l′，使得l′∥l，则由l⊥α可得l′⊥α且l′⊆β，由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，故②正确
③若l∥α，则直线l上的所有的点到平面α的距离相等，
若直线l∩α=M，则在直线上且在平面α的两侧存在点满足距M相等的点到平面的距离相等，故③错误
④一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个，则可得α⊥β，α∥γ，则γ⊥β正确
故选C
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（ ）
A．[0，2] B．[1，2] C．[0，1] D．[﹣1，5]
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值．
若﹣1≤x＜0，则不满足条件输出y=2﹣x﹣1∈（0，1]，
若0≤x≤3，则满足条件，此时y=log2（x+1）∈[0，2]，
输出y∈[0，2]，
故选：A．
8．过（2，2）点且与曲线x2+y2+2x﹣2y﹣2=0相交所得弦长为的直线方程为（ ）
A．3x﹣4y+2=0 B．3x﹣4y+2=0或x=2
C．3x﹣4y+2=0或y=2 D．x=2或y=2
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】曲线x2+y2+2x﹣2y﹣2=0化为标准方程，确定圆心与半径，设出直线方程，利用条件可得圆心到直线的距离为1，从而可求直线方程．
【解答】解：曲线x2+y2+2x﹣2y﹣2=0化为标准方程为：（x+1）2+y﹣1）2=4，表示圆心为（﹣1，1），半径为2的圆
设过点（2，2）的直线方程为y﹣2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2=0
∵过（2，2）点且与曲线x2+y2+2x﹣2y﹣2=0相交所得弦长为
∴圆心到直线的距离为
∴
∴4k2+3k=0
∴k=0，或k=﹣
∴所求直线方程为：3x﹣4y+2=0或y=2
故选C．
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．π B．π C．8π D．16π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，分别计算柱体和圆锥的体积，相减可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，
圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积S=4π，
圆柱和圆锥的高h=2，
故组合体的体积V=（1﹣）Sh=，
故选：B
10．函数y=的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．
【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．
当x＞0时，，
当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．
故选B
11．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（ ）
A． B． C． D．
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出A•ω的值．
【解答】解：由图得，T=4×=π，则ϖ=2，
设M（，A），则N（，﹣A），
∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，
∴A•ω=．
故选C．
12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
【考点】二次函数的性质；带绝对值的函数；函数迭代．
【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），
故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，
故函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1对称，
故xi=×2=m，
故选：B
二、填空题（每题5分）
13．已知函数f（x）=，则的值是 ．
【考点】对数的运算性质；函数的值．
【分析】直接利用分段函数由里及外逐步求解即可．
【解答】解：函数f（x）=，则f（log2）=f（﹣2）=5﹣2=．
故答案为：．
14．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为 ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．
【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），
∴与夹角θ满足：
cosθ===，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=，
故答案为：．
15．某次考试后，抽取了40位学生的成绩，并根据抽样数据制作的频率分布直方图如图所示，从成绩为[80，100]的学生中随机抽取了2人进行某项调查，则这两人分别来自两个不同分数段内的频率为 ．
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图得成绩为[80，90）的学生有4人，成绩为[90，100]的学生有2人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果．
【解答】解：由频率分布直方图得：
成绩为[80，90）的学生有：0.010×10×40=4人，
成绩为[90，100]的学生有：0.005×10×40=2人，
∴从成绩为[80，100]的学生中随机抽取了2人进行某项调查，
基本事件总数n==15，
这两人分别来自两个不同分数段内，包含的基本事件个数m==8，
∴这两人分别来自两个不同分数段内的频率为：．
故答案为：．
16．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在平面BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体中有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值是；
②三棱锥B﹣ACE的体积是a3；
③直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．
④平面EAB⊥平面ADE．
其中错误叙述的是 ③ ．
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量与三棱锥的有关知识计算即可得出．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
D（0，0，0），C（0，﹣a，0），B（﹣a，﹣a，0），E（﹣a，0，0），A（0，0，a）．
下描述：
①=（﹣a，﹣a，﹣a），=（﹣a，0，0）．cos===．
∴tan=，因此AB与DE所成角的正切值是正确．
②三棱锥B﹣ACE的体积=VA﹣BCE=×AD==a3，正确．
③取平面ADE的法向量=（0，1，0），=（a，a，a），
设直线BA与平面ADE所成角为θ，则sinθ====，因此不正确．
④∵AD⊥平面BCDE，∴AD⊥BE，又BE⊥DE，BE∩DE=E，∴BE⊥平面ADE，BE⊂ABE，∴平面EAB⊥平面ADE，因此正确．
其中错误叙述的是 ③．
故答案为：③．
三、解答题
17．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；
（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx==．
由T=，得ω=1；
（2）由（1）得，f（x）=．
再由，得．
∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．
18．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．
区间
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50]
人数
25
a
b
（1）求正整数a，b，N的值；
（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【分析】（1）根据小矩形的高=，故频数比等于高之比，由此可得a、b的值；
（2）计算分层抽样的抽取比例为=，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；
（3）利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1人在第3组的个数，根据古典概型概率公式计算．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，[25，30）与[30，35）两组的人数相同，
∴a=25人．
且人．
总人数人．
（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为，
第2组的人数为，
第3组的人数为，
∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．
（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：
（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共有15种．
其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共有8种．
所以恰有1人年龄在第3组的概率为．
19．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，如图所示．
（1）求函数解析式；
（2）若方程f（x）=m在[﹣，]有两个不同的实根，求m的取值范围．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）根据已知中函数的图象求出函数的周期，要求出ω，进而根据“第一点向左平移量”法可求出φ值，代入可得函数的解析式；
（2）分析函数在[﹣，]图象和性质，进而得到方程f（x）=m在[﹣，]有两个不同的实根，即函数y=f（x）和y=m的图象在[﹣，]有两个不同的交点时，m的取值范围．
【解答】解：（1）∵=﹣=，
故T=π，
又∵ω＞0，
故ω=2，
故函数图象第一点的坐标为（﹣，0）点，
即向左平移量L=，
故φ=ω•L=，
故…
（2）由（1）中函数解析式可得当x∈[﹣，]或x∈[，]时，函数为减函数，
当x∈[，]时，函数为减函数，
又∵f（﹣）=cos=，f（）=cos=0，
故当时，函数y=f（x）和y=m的图象在[﹣，]有两个不同的交点
即方程f（x）=m有两个不同的实根，
故m的取值范围为…
20．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．
【考点】直线与平面平行的判定；组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）设正方形ABCD的中心为O，取BE中点G，连接FG，OG，由中位线定理，我们易得四边形AFGO是平行四边形，即FG∥OA，由直线与平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF；
（2）由已知中正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我们可以得到AB⊥平面ADEF，结合DE=DA=2AF=2．分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出四面体BDEF的体积．
【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，
所以，OG∥DE，且OG=DE．
因为AF∥DE，DE=2AF，
所以AF∥OG，且OG=AF，
从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．
因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…
解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2
所以△DEF的面积为S△DEF=×ED×AD=2，
所以四面体BDEF的体积V=•S△DEF×AB=
21．已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若（O为原点），求向量与夹角的大小；
（2）若，求sin2α的值．
【考点】二倍角的正弦；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】（1）首先根据，求出cosα，再根据向量的积求出夹角即可．
（2）先表示出向量AC和BC，然后根据向量垂直的条件得出，，从而求出，然后得出它的平方，进而求得sin2α．
【解答】解：（1）∵，，
∴（2+cosα）2+sin2α=7，
∴．
又B（0，2），C（cosα，sinα），设与的夹角为θ，
则：，
∴与的夹角为或．
（2）解：∵，，
由，∴，
可得，①
∴，∴，
22．已知直线l：y=kx+1与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于A，B两点
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，若f（k）=[S（k）•（k2+1）]2，求f（k）的最大值．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）欲求弦AB的中点M的轨迹方程，设点M（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知MN与MC所在直线垂直得到一个关系式，化简即得点M的轨迹方程．
（2）先将y=kx+1代入方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出4S△OAB2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2，最后结合配方法求解函数f（k）的最大值即可．
【解答】解：（1）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3）．设M（x，y），
∵MN与MC所在直线垂直，
∴（x≠0且x≠2），
当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，
∴AB中点的轨迹方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+3=0（＜x＜）；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵S△OAB=S△ONB﹣S△ONA，且|ON|=1，
∴S△OAB=|x2﹣x1|．
将y=kx+1代入方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
∴4S△OAB2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=
∴S2（k）=，
∴f（k）=[S（k）•（k2+1）]2=﹣3k2+8k﹣3，
∵△＞0得＜k＜，
∴k=时，f（k）的最大值为．
2016年8月9日
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