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2015-2016学年辽宁省大连市高一（下）期末数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．cos330°等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．已知角α的终边落在直线y=﹣2x上，则tanα的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
3．用系统抽样的方法从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
5．已知向量=（，1），=（1，0），则向量在向量方向上的正射影的数量为（ ）
A． B． C．1 D．
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
7．为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sin3x的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
9．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（ ）
A．＞，乙比甲成绩稳定 B．＞，甲比乙成绩稳定
C．＜，乙比甲成绩稳定 D．＜，甲比乙成绩稳定
10．某船开始看见灯塔A时，灯塔A在船南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔A在船正西方向，则这时船与灯塔A的距离是（ ）
A．15km B．30km C．15km D．15km
11．如图，在△ABC中，已知AB=5，AC=6， =， •=4，则•=（ ）
A．﹣45 B．13 C．﹣13 D．﹣37
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA+cos（A+）=，b+c=4，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A．[6，8） B．[6，8] C．[4，6） D．（4，6]
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）
13．已知点A（1，1），B（﹣1，5），向量=2，则点C的坐标为 ．
14．已知tan（α﹣β）=﹣，tan（α+β）=3，则tan2α的值为 ．
15．某公司的班车在8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 ．
16．平面向量，，两两所成角相等，且||=1，||=2，||=3，则|++|为 ．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量=（2，k），=（1，1），满足⊥（﹣3）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求向量与向量夹角的余弦值．
18．已知=．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求sin2α+cos2α的值．
19．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图；
（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．
20．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的两个相邻的对称中心分别为（，0），（，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及其对称轴方程；
（Ⅱ）利用五点法画出函数f（x）在[，]上的简图．
21．如图，OAB是一块半径为1，圆心角为的扇形空地．现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF，其中动点C在扇形的弧上，记∠COA=θ．
（Ⅰ）写出矩形CDEF的面积S与角θ之间的函数关系式；
（Ⅱ）当角θ取何值时，矩形CDEF的面积最大？并求出这个最大面积．
22．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与向量=（2，sinC）共线，求△ABC的面积．
2015-2016学年辽宁省大连市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．cos330°等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由cos（α+2kπ）=cosα、cos（﹣α）=cosα解之即可．
【解答】解：cos330°=cos=cos（﹣30°）=cos30°=．
故选：A．
2．已知角α的终边落在直线y=﹣2x上，则tanα的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．
【解答】解：角α的终边落在直线y=﹣2x上，在直线y=﹣2x上任意取一点（a，﹣2a），a≠0，
则由任意角的三角函数的定义可得tanα===﹣2，
故选：B．
3．用系统抽样的方法从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据统抽样方法的公平性即抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，分析题意，可得答案．
【解答】解：根据题意，抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，
即为，
故选：D．
4．已知sinα﹣cosα=﹣，则sin2α的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】二倍角的正弦．
【分析】把所给的式子平方，利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=﹣，∴平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α=，
则sin2α=，
故选：C．
5．已知向量=（，1），=（1，0），则向量在向量方向上的正射影的数量为（ ）
A． B． C．1 D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．
【解答】解：∵向量=（，1），=（1，0），
∴=，||=1，
∴向量在向量方向上的正射影为=，
故选：A
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【考点】条件语句；循环语句．
【分析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题．
【解答】解：第一次运行程序时i=1，s=3；
第二次运行程序时，i=2，s=2；
第三次运行程序时，i=3，s=1；
第四次运行程序时，i=4，s=0，
此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，
故选B
7．为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sin3x的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由于函数y=sin （x﹣）=sin3（x﹣），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：由于函数y=sin （3x﹣）=sin3（x﹣），故把函数y=sin3x的图象上所有的点向右平移个单位长度，
即可得到函数y=sin （3x﹣）的图象，
故选D．
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【考点】正弦定理．
【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．
【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，
即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，
故选B．
9．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（ ）
A．＞，乙比甲成绩稳定 B．＞，甲比乙成绩稳定
C．＜，乙比甲成绩稳定 D．＜，甲比乙成绩稳定
【考点】茎叶图．
【分析】分别求出甲、乙二人的平均成绩和方差，由此能求出结果．
【解答】解：甲的平均成绩=（73+78+79+87+93）=82，
甲的成绩的方差= [（73﹣82）2+（78﹣82）2+（79﹣82）2+（87﹣82）2+（93﹣82）2]=50.4，
乙的平均成绩=（79+89+89+92+91）=88，
乙的成绩的方差= [（79﹣88）2+（89﹣88）2+（89﹣88）2+（92﹣88）2+（91﹣88）2]=21.6，
∴＜，乙比甲成绩稳定．
故选：C．
10．某船开始看见灯塔A时，灯塔A在船南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔A在船正西方向，则这时船与灯塔A的距离是（ ）
A．15km B．30km C．15km D．15km
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】根据题意画出图形，如图所示，求出∠CAB与∠ACB的度数，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入即可求出BC的长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
可得∠DAB=60°，∠DAC=30°，AB=45km，
∴∠CAB=30°，∠ACB=120°，
在△ABC中，利用正弦定理得：
∴BC=15（km），
则这时船与灯塔的距离是15km．
故选：D．
11．如图，在△ABC中，已知AB=5，AC=6， =， •=4，则•=（ ）
A．﹣45 B．13 C．﹣13 D．﹣37
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】先用和表示出•=，再根据=用和表示出，再根据•=4求出的值，最后将的值代入•=，从而得出答案．
【解答】解： •==
∵=，
∴=（﹣）
=﹣+
整理可得：
∴=4
∴=﹣12
∴•===﹣12﹣25=﹣37．
故选：D．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA+cos（A+）=，b+c=4，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A．[6，8） B．[6，8] C．[4，6） D．（4，6]
【考点】正弦定理．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin（A+）=，结合A的范围可求A，再由余弦定理求得a2=16﹣3bc，再由基本不等式，求得bc的范围，即可得到a的范围，进而可求周长的范围．
【解答】解：∵sinA+cos（A+）=，
∴sinA+cosA﹣sinA=，可得：sin（A+）=，
∵A∈（0，π），A+∈（，），
∴A+=，解得A=，
∵b+c=4，
∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=16﹣3bc，
∵由b+c=4，b+c≥2，得0＜bc≤4，
∴4≤a2＜16，即2≤a＜4．
∴△ABC周长L=a+b+c=a+4∈[6，8）．
故选：A．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）
13．已知点A（1，1），B（﹣1，5），向量=2，则点C的坐标为 （﹣3，9） ．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】向量=2，利用向量三角形法则可得： =﹣，代入化简即可得出．
【解答】解：∵向量=2，
∴=2，
∴=﹣
=2（﹣1，5）﹣（1，1）=（﹣3，9），
故答案为：（﹣3，9）．
14．已知tan（α﹣β）=﹣，tan（α+β）=3，则tan2α的值为 ．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由条件利用两角和的正切公式即可求得tan2α的值．
【解答】解：∵tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，
∴tan2α=tan[（α+β）+（α﹣β）]= = =．
故答案为：．
15．某公司的班车在8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 ．
【考点】几何概型．
【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：设小明到达时间为y，
当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
故P==．
故答案为：．
16．平面向量，，两两所成角相等，且||=1，||=2，||=3，则|++|为 或5 ．
【考点】向量的三角形法则．
【分析】由平面向量，，两两所成角相等，可得两两所成角为0°或120°．再利用数量积运算性质即可得出．
【解答】解：∵平面向量，，两两所成角相等，
∴两两所成角为0°或120°．
∵||=1，||=2，||=3，
当所成角为120°时，
∴=1×2×cos120°=﹣1，
=﹣，
=﹣3，
则|++|===．
同理可得：当所成角为0°时，
则|++|==5．
故答案为：或5．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量=（2，k），=（1，1），满足⊥（﹣3）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求向量与向量夹角的余弦值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（Ⅰ）运用向量的加减运算和向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得k；
（Ⅱ）求得向量与的模，由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（Ⅰ）由量=（2，k），=（1，1），
可得，
∵与互相垂直，
∴，
∴k=4；
（Ⅱ）∵，
∴，
∴．
18．已知=．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求sin2α+cos2α的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（Ⅰ）直接由三角函数的诱导公式化简求值得答案；
（Ⅱ）直接由二倍角公式化简再进一步化成正切函数计算得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴；
（Ⅱ）
=．
19．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图；
（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）求出分数在[120，130）内的频率，补充的长方形的高，由此能补全频率分布直方图．
（Ⅱ）利用频率分布直方图能估计平均分．
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，由此利用列举法能求出至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．
【解答】解：（Ⅰ）分数在[120，130）内的频率1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3，
因此补充的长方形的高为0.03，补全频率分布直方图为：…..
（Ⅱ）估计平均分为…..
（Ⅲ）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2，
用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，
需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，
在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，
设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A，
则基本事件共有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），
（n，b），（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），
（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共15个．
事件A包含的基本事件有{（m，n），（m，a），（m，b），
（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）}共9个．
∴P（A）==．…..
20．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的两个相邻的对称中心分别为（，0），（，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及其对称轴方程；
（Ⅱ）利用五点法画出函数f（x）在[，]上的简图．
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（Ⅰ）由题意可求周期T，利用周期公式可求ω，由，结合范围﹣π＜φ＜0，可求φ，从而可求f（x）的解析式，由可解得f（x）对称轴方程．
（Ⅱ）分别求出对应的x值和y值列表，然后描点，再用平滑曲线连接得函数图象．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的两个相邻的对称中心分别为，，
∴，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
∵，
∴，
∴，
∵﹣π＜φ＜0，
∴，
∴．…
由，得，
所以f（x）对称轴方程为，…
（Ⅱ）列表：
x
0
π
2π
f（x）
0
1
0
﹣1
0
…
作图：
…
21．如图，OAB是一块半径为1，圆心角为的扇形空地．现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF，其中动点C在扇形的弧上，记∠COA=θ．
（Ⅰ）写出矩形CDEF的面积S与角θ之间的函数关系式；
（Ⅱ）当角θ取何值时，矩形CDEF的面积最大？并求出这个最大面积．
【考点】扇形面积公式．
【分析】（Ⅰ）先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；
（Ⅱ）化简函数，利用角α的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为：OF=cosθ，CF=sinθ，
所以：，，…
所以： =，…
（Ⅱ）
=，…
因为：，
所以：
所以：当，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值．…
22．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与向量=（2，sinC）共线，求△ABC的面积．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意，求出f（x）的解析式，利用三角函数的图象与性质求出f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）由f（A）=﹣1得到A的值，由a=，结合余弦定理得①，由向量=（3，sinB）与向量=（2，sinC）共线，结合正弦定理得②，联立①②得b，c的值，再由三角形的面积公式计算得答案．
【解答】解：（Ⅰ）
=，
令，
解得：．
∴函数y=f（x）的单调递减区间为；
（Ⅱ）∵f（A）=﹣1，
∴，即．
∴．
∴．
又∵0＜A＜π，∴．
∵，
∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①
∵向量与共线，
∴2sinB=3sinC．
由正弦定理得2b=3c ②
由①②得b=3，c=2．
∴．
2016年8月9日
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