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河北定州中学2016-2017学年第一学期高四数学周练试题（一）
一、选择题（共12小题，共60分）
1．己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若＝2，则|k|＝
A．2 B． C． D．
2．在数列中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝
A．2＋ln n B．2＋ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
3．定义在区间上的函数使不等式恒成立，其中为的导数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．设函数其中存在正数，使得成立，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．1
6．已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，不等式恒成立，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的渐近线方程与圆相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．根据，判定方程的一个根所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
9．设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列为等差数列，满足，其中在一条直线上，为直线外一点，记数列的前项和为，则的值为（ ）
A． B．2015 C．2016 D．2013
11．已知双曲线与轴交于、两点，点，则面积的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．已知函数，，当时，方程的根的个数是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
第II卷（非选择题）
二、填空题（4小题，共20分）
13．已知随机变量服从正态分布，，则的值为 ．
14．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的零点，则的取值范围是 ．
15．已知直线交抛物线于两点，以为直径的圆被轴截得的弦长为，则=__________ .
16．已知数列的前项和为，若对于任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________ .
三、解答题（8小题，共70分）
17．已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
18．已知点，，直线与直线相交于点，直线与直线的斜率分别记为与，且．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点，的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A，B为动直线y＝k（x－2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．
20．已知椭圆C1：＋＝1 （a＞b＞0）的离心率为，P（－2，1）是C1上一点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设A、B、Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l与C1相交于不同于P、Q的两点C、D.点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
21．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A－DF－B的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°.
22．按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为．
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
（1）求和关于、的表达式；当时，求证：=；
（2）设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
23．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统
计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
24．已知函数的图象过点P（0，2），且在点处的切线方程．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数与的图像有三个交点，求的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0），与抛物线y2＝4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2），联立y＝kx＋m（k≠0），y2＝4x得k2x2＋（2km－4）x＋m2＝0，
所以 Δ＝（2km－4）2－4k2m2＝16－16km，由Δ＞0得km＜1，x1＋x2＝，x1x2＝，
由y2＝4x得其焦点F（1，0），由＝2得（1－x1，－y1）＝2（x2－1，y2），
所以，由①得， x1＋2x2＝3，③.由②得， x1＋2x2＝－，
所以m＝－k，再由＝2得||＝2||，
所以x1＋1＝2（x2＋1），即x1－2x2＝1，④.联立③④得x1＝2，x2＝，
所以x1＋x2＝＝，把m＝－k代入得＝，解得＝2，满足mk＝－8＜1，所以＝2，故选A.
考点：直线与抛物线相交.
2．A
【解析】
试题分析：由已知得an＋1－an＝ln＝ln（n＋1）－ln n，所以an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝2＋（ln 2－ln 1）＋（ln 3－ln 2）＋…＋（ln n－ln（n－1））＝2＋ln n，故选A.
考点：由递推公式求通项公式．
3．B
【解析】
试题分析：由可得，即，令，则，即，所以且，即且
，所以函数是增函数且函数是减函数，即是增函数且函数是减函数，所以且，即且，故应选B.
考点：导数及运算．
【易错点晴】本题以不等式的形式为背景考查的是导数的知识的综合运用.解答本题的难点是如何建立两个函数值的表达式.本题在解答时借助题设的不等式，运用巧妙变形进行构造函数，进而通过构造的函数进行合理有效的变形得到两个单调函数和函数，即和函数.最后借助单调性使得问题简捷巧妙获解.
4．D
【解析】
试题分析：设切点为，则由题设，故代入得，又，所以，即，将代入得，故当时，取最小值为，故应选D.
考点：导数的几何意义及二次函数的最小值．
【易错点晴】本题以直线与曲线相切为背景考查的是求函数的最小值的求法问题.求解时充分利用题设中所提供的有效信息，对直线与曲线相切这一条件进行了巧妙合理的运用，使得本题巧妙获解.解答本题的关键是找出参数之间的数量关系，这里是借助直线与曲线相切的这一条件.设切点是解答这类问题的关键，一旦切点出现，直线与曲线都经过这个切点，许多问题都能解决，所以设切点是找到之间关系的很重要的一个步骤.
5．A
【解析】
试题分析：由函数解析式的形式可知表示平面上的两动点之间距
离的平方，而两动点分别在曲线和上，设切点，因为，所以，当时，，此时直线与切点间的距离最近，即，解之得，应选B.
考点：导数和函数的有关知识及综合运用．
【易错点晴】函数与方程的关系是高中数学的重要内容之一，也是高中数学中的重要知识点.本题以函数内容为背景设置的是函数的解析式参数的取值范围问题.解答时充分借助函数解析式的结构特征，将其与平面上的两点间距离公式类比，从而将问题进行合理转化为直线与曲线的距离最小，最小值为的问题.然后借助导数的几何意义求出切点的坐标从而使问题简捷巧妙地获解.
6．C
【解析】
试题分析：由于函数的图象关于点对称，所以函数关于原点对称，即为奇函数，在定义域上单调递增，由，得，即，，，表示的就是圆心为，半径为的圆内的点，当时，表示的就是到原点的距离的平方，由图像可求得取值范围为.最短为，最大.不是最大值.
考点：1.函数的单调性与奇偶性；2.线性规划.
【思路点晴】本题考查函数图象与性质，导数与图象等知识.第一个问题就是处理
这两个函数图象的关系，图象向右移个单位得到图象，向左移个单位得到图象.由此可以确定函数是一个奇函数，由于为增函数，而且为抽象函数，根据单调性，可化简.最后还要用线性规划的知识来求最值.
7．B
【解析】
试题分析：双曲线其中一条渐近线为，依题意圆心到渐近线的距离等于半径，即，化简得，.
考点：双曲线离心率.
8．D
【解析】
试题分析：令，依题意有，所以零点位于.
考点：二分法.
9．C
【解析】
试题分析：令，令，画出图象如下图所示，由图象可知，的取值范围是．
考点：1.新定义；2.函数图象与性质.
【思路点晴】解决函数零点有关的问题，思路就是先令这个函数等于零，然后对式子进行分离参数，如本题中令，分离参数后，就变成了左边一个函数，右边是一条直线，只要我们画出左边函数的图象，结合图象就能求出有三个交点时候的取值范围. 是一个新定义的函数，我们可利用用新定义中包含的概念，分段画出图象.
10．A
【解析】
试题分析：因为在一条直线上，所以，则，选A.
考点：向量关系，等差数列性质
【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
11．A
【解析】
试题分析：由题意知，如图：
∴
当且仅当时“＝”成立，
∴.
故选A.
考点：双曲线的标准方程；双曲线的几何性质.
12．B
【解析】
试题分析：由题意得，函数在上是奇函数且是反比例函数，在上是奇函数，则，所以在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，，，，所以作出函数与在上的图像，如图所示，结合图像可知，共有6个交点.
故选B.
考点：根的存在性及根的个数的判断；函数的图像.
13．
【解析】
试题分析：因对称轴是，所以，故应填.
考点：正态分布的性质及运用．
14．
【解析】
试题分析：函数为偶函数，且左减右增.函数的对称轴为，且向右单调递增.故当时函数先减后增，当时函数单调递增，要有三个不同的零点则必须满足，解得.
考点：分段函数零点问题.
【思路点晴】应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
15．
【解析】
试题分析：由直线方程与抛物线方程联立消x得，而直线过抛物线焦点，所以，而由垂径定理得
考点：抛物线定义，直线与圆位置关系
16．
【解析】
试题分析：，，两式相减得又，因此
为以2首项，3 为公比的等比数列，即，叠加法得，从而，因此对恒成立，即解得
考点：和项求通项，等比数列定义，不等式恒成立
【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
17．（1）详见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）由和项求通项，关键注意分类讨论：当时，；当时，；由于当时，也符合上式，故.最后根据等差数列定义证明（2）裂项相消法求数列和：
注意调节系数，首尾相消得
试题解析：（1）当时，；
当时，；
当时，也符合上式，故.
因为，故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）因为，
故.
考点：和项求通项，等差数列定义，裂项相消法求和
【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）本题求轨迹方程，采用直接法，只要设动点坐标为，求出斜率，由化简可得，注意斜率存在时，最后方程中要剔除此点；（Ⅱ）假设存在，首先直线斜率存在，可设其方程为，与椭圆方程联立整理为关于的一元二次方程，同时设交点为，由可得，而，这样可把表示为的函数，可由基本不等式知识求得最大值．
试题解析：（Ⅰ）设，则，
所以所以 （未写出范围扣一分）
（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在，设直线的方程是，
联立，消去得，
因为，所以，
设，
当且仅当时取等号，面积的最大值为．
考点：1、求曲线的方程；2、椭圆的方程；3、利用基本不等式求最值．
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法
1．直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F (x，y)＝0. 2.待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程． 3.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． 4.代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
19．（1）；（2）存在，定点为E．
【解析】
试题分析：（1）要求椭圆标准方程，一般要列出关于的两个等式，题中离心率是一个，即，另外由直线与圆相切知原点到直线的距离就等于，因此易得；（2）直线与椭圆相交，设交点为，把直线方程代入椭圆方程后可得，同时假设定点存在，并设，计算，把它表示为的等式，此式是关于的恒等式，由此可求得．
试题解析：（1）由e＝，得＝，即c＝a， ①
又因为以原点O为圆心，
椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，
且与直线2x－y＋6＝0相切，
所以a＝＝，代入①得c＝2，
所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.
（2）由得（1＋3k2）x2－12k2x＋12k2－6＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝，x1·x2＝，
根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得
2＋·＝·（＋）＝·为定值，
则有·＝（x1－m，y1）·（x2－m，y2）＝（x1－m）·（x2－m）＋y1y2
＝（x1－m）（x2－m）＋k2（x1－2）（x2－2）＝（k2＋1）x1x2－（2k2＋m）（x1＋x2）＋（4k2＋m2）
＝（k2＋1）·－（2k2＋m）·＋（4k2＋m2）
＝.
要使上式为定值，即与k无关，则应使3m2－12m＋10＝3（m2－6），
即m＝，此时·＝m2－6＝－为定值，定点为E.
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆相交，解析几何中的定点问题．
【名师点睛】解决存在性问题应注意以下几点
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；
（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
20．（1）；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）本小题要求椭圆标准方程，由离心率可得，再把点坐标代入又得的一个方程，两者联立可解得；（2）设直线PD、PE的斜率分别为，则要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证，为此先得，从而有，于是可设直线方程为，同时设，由直线方程与椭圆方程可得，计算，可得结论．
试题解析：（1）因为C1离心率为，所以a2＝4b2，
从而C1的方程为：＋＝1 .代入P（－2，1）
解得：b2＝2，因此a2＝8.
所以椭圆C1的方程为：＋＝1 .
（2）由题设知A、B的坐标分别为（－2，－1），（2，1）．
因此直线l的斜率为.
设直线l的方程为：y＝x＋t.
由得：x2＋2tx＋2t2－4＝0.
当Δ＞0时，不妨设C（x1，y1），D（x2，y2），
于是 x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4.
设直线PD、PE的斜率分别为k1，k2，则要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1＋k2＝0，
又k1＋k2＝＋＝，
则只需证（y2－1）（2－x1）－（2＋x2）（y1＋1）＝0，
而（y2－1）（2－x1）－（2＋x2）（y1＋1）
＝2（y2－y1）－（x1y2＋x2y1）＋x1－x2－4
＝x2－x1－x1x2－t（x1＋x2）＋x1－x2－4
＝－x1x2－t（x1＋x2）－4
＝－2t2＋4＋2t2－4
＝0
所以直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题．
【名师点睛】解析几何中的直线与曲线相交的综合性问题，可设出直线方程，同时设交点坐标为，由直线方程与椭圆方程可得，然后计算相关量，象本题计算，并把用表示出来，把刚才所得代入可得结论．
21．（1）见解析；（2）60°；（3）点P是AC的中点．
【解析】
试题分析：（1）要证线面平行，只要证线线平行，设交点为，为中点，由为中点，可得
（中点连线是经常用到的辅助线），从而得证线面平行；（2）由已知可以证明CD、CB、CE两两垂直，因此以它们所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，＝（－，0，0）为平面ADF的一个法向量．再求得平面的一个法向量，求得法向量的夹角即得二面角（它们相等或互补）；（3）在（2）基础上，可设可设P（t, t, 0） （0≤t≤），则由与的夹角的为或可求得，从而得点位置．
试题解析：（1）记AC与BD的交点为O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE
∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角
在Rt△ASB中，AS==，AB=，
∴tan∠ASB=，∠ASB=60°，
∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°；
（3）如图设P（t，t，0）（0≤t≤），
则=（﹣t，﹣t，1），=（，0，0）
又∵，夹角为60°，∴，
解之得t=或t=（舍去），
故点P为AC的中点时满足题意．
考点：线面平行的判断，二面角，异面直线所成的角．
22．（1）详见解析（2）时最大的综合满意度为
【解析】
试题分析：（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件
试题解析：（1）
当时，,
, =
（2）当时，
由，故当即时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为．
考点：函数模型的选择与应用
23．（1）（2）没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关
【解析】
试题分析：（1）根据分层抽样原理，结合频率分布直方图，求出每组应抽取的人数；（2）由频率分布直方图，计算各组对应的生产能手数，填写2×2列联表，计算K2的值，从而得出统计结论
试题解析：（Ⅰ）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名
所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，
从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，
其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，.故所求的概率：…………6分
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
周岁以上组
周岁以下组
合计
所以得：
因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”
考点：频率分布直方图；独立性检验的应用
24．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由图象过点P（0，2）求出d的值，再代入求出导数，再由切线方程求出f（-1）、f′（-1），分别代入求出b和c的值；（2）将条件转化为有三个根，再转化为的图象与y=a图象有三个交点，再求出h（x）的导数、临界点、单调区间和极值，再求出a的范围即可
试题解析：（1）由的图象经过点P（0，2），知d=2．所以，则
由在处的切线方程是知，即．所以即解得．
故所求的解析式是．
（2）因为函数与 的图像有三个交点有三个根， 即有三个根
令，则的图像与图像有三个交点．
接下来求的极大值与极小值（表略）．
的极大值为 的极小值为2 ，因此
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断
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