www.ks5u.com
2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，3） C．（﹣∞，0）∪（3，+∞） D．（﹣1，3）
2．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 B．若a＞b，则ac＞bc
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＜b＜0，则＞
3．由0、1、2、3这四个数字，可组成无重复数字的三位偶数有（ ）个．
A．8 B．12 C．10 D．15
4．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
5．（x﹣2y）6的展开式中，x4y2的系数为（ ）
A．15 B．﹣15 C．60 D．﹣60
6．从5位男同学和4位女同学中选出3位同学分别担任数、语、外三科的科代表，要求选出的3位同学中男女都要有，则不同的选派方案共有（ ）
A．210种 B．630种 C．420种 D．840种
7．已知x＞0，y＞0，且+=4，则x+2y最小值是（ ）
A．5+2 B．2 C．8 D．16
8．某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）
A．144种 B．150种 C．196种 D．256种
9．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题．在第一次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有（ ）种．
A．72 B．60 C．48 D．24
11．某市环保局举办“六•五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是．现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示获奖的人数，那么E（ξ）+D（ξ）=（ ）
A． B． C． D．
12．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，如果命题p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围（ ）
A．（，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，] D．[，2]
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）= ．
14．已知集合A=（﹣1，2]，集合B={x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}．若B∩∁RA=B，则实数a的取值范围 ．
15．已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=y﹣ax仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a的取值范围为 ．
16．下列说法中正确的是
（1）用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好；
（2）已知a，b∈R，则|a|＞|b|是使＞1成立的必要不充分条件；
（3）命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx；命题q：∀x∈R，x2＞0，则命题p∧（¬q）是假命题；
（4）4封不同的信，投到3个不同的邮筒中，则不同的投放种数为A43；
（5）（1﹣x﹣5y）5的展开式中不含y项的系数和为0
（6）4张不同的高校邀请函，分发给3位同学每人至少1张，则不同的发放种数为3A43．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：
价格x（元/kg）
10
15
20
25
30
日需求量y（kg）
11
10
8
6
5
（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
线性回归方程=x+中系数计算公式：
==
=﹣，其中，表示样本均值．
18．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
优分
非优分
总计
男生
女生
总计
50
（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．
附：
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
K2=．
19．某商场五一进行抽奖促销活动，当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动，抽奖情况如下：消费金额每满500元，可获得一次抽奖机会，即设消费金额x元，x∈[500，1000）可抽奖1次，x∈[1000，1500）可抽奖2次，x∈[1500，2000）可抽奖3次，以此类推．
抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取）．
第一种抽奖方式：若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．
第二种抽奖方式：抽到红球，奖金0元；抽到白球，获得奖金50元；若抽到黑球，获奖金100元．
（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获得奖金70元的概率
（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利．
20．选修4﹣5：不等式选讲
已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）．
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．
21．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．
22．已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，3） C．（﹣∞，0）∪（3，+∞） D．（﹣1，3）
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出集合A，B，从而求出其交集即可．
【解答】解：∵集合A={x|y=lgx}={x|x＞0|，
B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
则A∩B=（0，3），
故选：B．
2．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 B．若a＞b，则ac＞bc
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＜b＜0，则＞
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据不等式的基本性质，判断四个答案的真假，可得结论．
【解答】解：若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故A正确；
若a＞b，c≤0，则ac≤bc，故B错误；
若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故C错误；
若a＜b＜0，则＜1，＞1，即＜，故D错误；
故选：A
3．由0、1、2、3这四个数字，可组成无重复数字的三位偶数有（ ）个．
A．8 B．12 C．10 D．15
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】数字0，1，2，3，组成没有重复数字的三位偶数有两种情况，0在个位与不在个位，由此可得结论．
【解答】解：用数字0，1，2，3，组成没有重复数字的三位偶数有两种情况，
当0在个位的三位偶数有A32=6个，
当0不在个位时，把2放在个位，再从余下的2个非零数选一个放在首位，
再从剩余的2个数中选一个放到十位上，方法有2×2=4种，
故所有的无重复数字的三位偶数有6+4=10个，
故选：C．
4．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先求出条件q和¬q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由＜1，得x＜0或x＞1，即q：x＜0或x＞1，
∴¬q：0≤x≤1．
∴p是¬q成立必要不充分条件．
故选B．
5．（x﹣2y）6的展开式中，x4y2的系数为（ ）
A．15 B．﹣15 C．60 D．﹣60
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．
【解答】解：（x﹣2y）6展开式的通项公式为
Tr+1=•x6﹣r•（﹣2y）r，
令r=2，得T3=•x4•（﹣2y）2=60x4y2，
所以x4y2的系数为60．
故选：C．
6．从5位男同学和4位女同学中选出3位同学分别担任数、语、外三科的科代表，要求选出的3位同学中男女都要有，则不同的选派方案共有（ ）
A．210种 B．630种 C．420种 D．840种
【考点】计数原理的应用．
【分析】题目要求有男女同学九人选三个到3个班担任数、语、外三科的科代表是三个元素在九个位置排列，要求这3位班主任中男女同学都有，则选的都是男同学和选的都是女同学不合题意就需要从总数中去掉．
【解答】解：∵共有男女同学九人选三个到3个担任数、语、外三科的科代表共有A93种结果，
要求这3位班主任中男女同学都有，则选的都是男同学和选的都是女同学不合题意，
选的都是男同学有A53种结果，
选的都是女同学有A43种结果，
∴满足条件的方案有A93﹣（A53+A43）=420，
故选：C．
7．已知x＞0，y＞0，且+=4，则x+2y最小值是（ ）
A．5+2 B．2 C．8 D．16
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=4，
则x+2y=（x+2y）==2，当且仅当x=2y=1时取等号．
∴x+2y最小值是2，
故选：B．
8．某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）
A．144种 B．150种 C．196种 D．256种
【考点】分类加法计数原理．
【分析】由题设条件知，可以把学生分成两类：311，221，所以共有种报考方法．
【解答】解，把学生分成两类：311，221，
根据分组公式共有=150种报考方法，
故选B．
9．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题．在第一次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】条件概率与独立事件．
【分析】由已知中5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题．在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型公式，易得到答案．
【解答】解：∵5道题中有3道理科题和2道文科题，
则第一次抽到理科题的前提下，
第2次抽到理科题的概率
P==
故选C
10．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有（ ）种．
A．72 B．60 C．48 D．24
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分2种情况讨论：若选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；若4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同；求出每种情况的着色方法数目，由加法原理求解即可．
【解答】解：由题意，分2种情况讨论：
（1）、选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，
涂色方法有C43•A33=24种
（2）、4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，
涂色方法有C21•A44=48种
所以不同的着色方法共有48+24=72种；
故选：A．
11．某市环保局举办“六•五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是．现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示获奖的人数，那么E（ξ）+D（ξ）=（ ）
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有“环保会徽”的有n张，“绿色环保标志”图案的有10﹣n张，由题意得=，求出n=6，从而求出ξ～B（4，），由此能求出E（ξ）+D（ξ）的值．
【解答】解：设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有“环保会徽”的有n张，
“绿色环保标志”图案的有10﹣n张，
由题意得=，解得n=6，
∴参加者每次从盒中抽取卡片两张，获奖概率p==，
∴现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示获奖的人数，
则ξ～B（4，），
∴E（ξ）+D（ξ）==．
故选：A．
12．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，如果命题p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围（ ）
A．（，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，] D．[，2]
【考点】复合命题的真假．
【分析】由二次函数和不等式的性质分别可得p真和q真时的a的取值范围，再由建议逻辑可得得p真q假，或p假q真，由集合的运算可得．
【解答】解：p为真等价于ax2﹣x+a＞0恒成立，
当a=0时不合题意，∴，解得a＞2；
q为真等价于a＞=对一切x＞0恒成立，
又+1＞2，∴＜，∴a≥，
又命题p∨q为真，p∧q为假可得p真q假，或p假q真，
∴，或，综合可得≤a≤2，
故选：D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）= 0.954 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），得到正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ＞2）=0.023，得到对称区间上的概率，从而可求P（﹣2≤ξ≤2）．
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），
∴正态曲线关于x=0对称，
∵P（ξ＞2）=0.023，
∴P（ξ＜﹣2）=0.023
∴P（﹣2≤ξ≤2）=1﹣0.023﹣0.023=0.954，
故答案为：0.954
14．已知集合A=（﹣1，2]，集合B={x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}．若B∩∁RA=B，则实数a的取值范围 （﹣∞，﹣2]∪（3，+∞） ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据集合A求出∁RA，化简集合B，由B∩∁RA=B列出不等式求出实数a的取值范围．
【解答】解：集合A=（﹣1，2]，
∴∁RA=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），
集合B={x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}={x|a﹣1≤x≤a+1}，
且B∩∁RA=B，
∴B⊆∁RA，
∴a+1≤﹣1或a﹣1＞2，
解得a≤﹣2或a＞3，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）．
15．已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=y﹣ax仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a的取值范围为 （1，+∞） ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图示：
，
z=y﹣ax，
将z的值转化为直线z=y﹣ax在y轴上的截距，
当a＞0时，直线z=y﹣ax经过点A（5，3）时，z最小，
必须直线z=y﹣ax的斜率大于直线x﹣y=2的斜率，
即a＞1．
故答案为：（1，+∞）．
16．下列说法中正确的是 （1）（2）（5）
（1）用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好；
（2）已知a，b∈R，则|a|＞|b|是使＞1成立的必要不充分条件；
（3）命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx；命题q：∀x∈R，x2＞0，则命题p∧（¬q）是假命题；
（4）4封不同的信，投到3个不同的邮筒中，则不同的投放种数为A43；
（5）（1﹣x﹣5y）5的展开式中不含y项的系数和为0
（6）4张不同的高校邀请函，分发给3位同学每人至少1张，则不同的发放种数为3A43．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）根据相关指数R2的意义进行判断
（2）根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断
（3）根据条件先判断命题p，q的真假进行判断
（4）根据分步计数原理进行判断
（5）利用二项展开式的定义和性质进行转化求解
（6）根据排列组合的应用进行判断．
【解答】解：（1）用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好；正确
（2）已知a，b∈R，则当a=1，b=0时，满足|a|＞|b|但＞1无意义，即充分性不成立，
若＞1，则||＞1，即|a|＞|b|成立，即必要性成立，则|a|＞|b|是使＞1成立的必要不充分条件；正确；
（3）命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx；成立当x=100时，100﹣2＞lg100=2；故命题p是真命题，
命题q：∀x∈R，x2＞0为假命题，当x=0时，命题不成立，即q是假命题，则命题p∧（¬q）是真命题；故命题p∧（¬q）是假命题，错误，
（4）4封不同的信，投到3个不同的邮筒中，则不同的投放种数为3×3×3×3=43；故（4）错误，
（5）（1﹣x﹣5y）5的展开式中不含y项，即为y指数为0时的（1﹣x﹣5y）n即（1﹣x）n展开式的各项，
令x=1得（1﹣x）n展开式的各项系数和为（1﹣1）n=0；故（5）正确，
（6）4张不同的高校邀请函，分发给3位同学每人至少1张，则不同的发放种数为C42•A33．故（6）错误，
故答案为：（1）（2）（5）
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：
价格x（元/kg）
10
15
20
25
30
日需求量y（kg）
11
10
8
6
5
（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
线性回归方程=x+中系数计算公式：
==
=﹣，其中，表示样本均值．
【考点】线性回归方程．
【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（II）把x=40代入回归方程解出y即可．
【解答】解：（Ⅰ） ==20， ==8，
∴b==﹣0.32，a=8﹣（﹣0.32）×20=14.4，
∴所求线性回归方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x=40时，，
故当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为1.6kg．
18．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
优分
非优分
总计
男生
9
21
30
女生
11
9
20
总计
20
30
50
（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．
附：
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
K2=．
【考点】频率分布直方图；茎叶图；独立性检验．
【分析】（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整，计算观测值k，对照数表得出概率结论；
（Ⅱ）利用频率视作概率，得出X服从二项分布，求出对应的概率值．
【解答】解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：
优分
非优分
总计
男生
9
21
30
女生
11
9
20
总计
20
30
50
假设H0：该学科成绩与性别无关，
则K2的观测值k===3.125，
因为3.125＞2.706，
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，
因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率；
设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，
则X服从二项分布B（3，0.4），
所求概率P=P（X=2）+P（X=3）
=×0.42×0.6+×0.43
=0.352．
19．某商场五一进行抽奖促销活动，当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动，抽奖情况如下：消费金额每满500元，可获得一次抽奖机会，即设消费金额x元，x∈[500，1000）可抽奖1次，x∈[1000，1500）可抽奖2次，x∈[1500，2000）可抽奖3次，以此类推．
抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取）．
第一种抽奖方式：若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．
第二种抽奖方式：抽到红球，奖金0元；抽到白球，获得奖金50元；若抽到黑球，获奖金100元．
（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获得奖金70元的概率
（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利．
【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）X=2000可抽奖4次，得奖金70元，共有两种情形：抽得3红1黑；抽得1红3白，由此能求出获得奖金70元的概率．
（2）X=1200可抽奖2次，用第一种抽奖方式，获得奖金ξ可能为20，30，40，50，60，80，分别求出概率，得到数学期望Eξ=40．用第二种抽奖方式，获得奖金η可能为0，50，100，150，200，分别求出概率，得到数学期望Eη=．从而求出第二种抽奖方式更有利．
【解答】解：（1）X=2000可抽奖4次，得奖金70元，
共有两种情形：抽得3红1黑；抽得1红3白，
因此所求事件的概率为
（2）X=1200可抽奖2次，
用第一种抽奖方式，获得奖金ξ可能为20，30，40，50，60，80，
，
，
，
，
，
，
随机变量ξ的分布列
ξ
20
30
40
50
60
80
P
期望Eξ==40．
用第二种抽奖方式，获得奖金η可能为0，50，100，150，200，
，
，
，
，
，
随机变量的分布列
η
0
50
100
150
200
P
期望Eη=0++++=．
∴第二种抽奖方式更有利．
20．选修4﹣5：不等式选讲
已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）．
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）化简f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|的解析式，求出f（x）的最小值为，则由，解得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2，当时，不等式为﹣x﹣2≤2，解得．
当时，不等式为 3x≤2，解得． 当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．
综上，不等式的解集为．
（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，
故，即f（x）的最小值为．
所以，当f（x）≤log2a有解，则有，解得，即a的取值范围是．
21．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【分析】（I）由题意知每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～．利用二项分布的概率公式得到结果，
（II）有3次连续击中目标．另外2次未击中目标包括三种情况，即连续的三次射击在第一位，在第二位，在第三位，这三种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．
（III）ξ为射手射击3次后的总的分数，由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列．
【解答】解：（1）每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响
设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～．
在5次射击中，恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i=1，2，3，4，5）；
“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则
=
=
（Ⅲ）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6
=
=
P（ζ=6）=P（A1A2A3）=
∴ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
6
P
22．已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导函数，令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；
（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；
（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1，则是否存在P，Q等价于方程﹣t2+F（t）（t3+t2）=0在t＞0且t≠1时是否有解．
【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），
令f′（x）=0，得x=0或．
列表如下：
x
0
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
∵，，
∴，
即最大值为，∴b=0．…
（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，
∴恒成立，即．
令，求导得，，
当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴tmin（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…
（3）由条件，，
假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，
不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．
∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，
∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…
是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．
①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解； …
②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，
设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，
显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．
∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…
2016年8月15日
微信/支付宝扫码支付