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理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
4.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
6.已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.如图所示程序框图中，输出（ ）
A．45 B．-55 C．-66 D．66
8.如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从内随机取一个点，则点取自内的概率为（ ）
A． B． C． D．
9.在棱长为3的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C． D．与点的位置有关
10.已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11.设满足约束条件，则目标函数的最大值为11，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12.设函数，则当时，表达式的展开式中常数项为（ ）
A．-20 B．20 C．-15 D．15
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若，则等于 .
14.给定双曲线，若直线过的中心，且与交于两点，为曲线上任意一点，若直线的斜率均存在且分别记为，则 .
15.已知点的坐标满足，则的取值范围为 .
16.在数列中，，，是数列的前项和，当不等式恒成立时，的所有可能取值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）已知分别为锐角三角形中角的对边，且满足，，求的面积.
18. （本小题满分12分）
某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
居民生活用水量（万吨）
236
246
257
276
286
（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程；
（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.
参考公式：，.
19. （本小题满分12分）
如图，在等腰梯形中，，，，四边形
为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点分别为，
，以椭圆短轴为直径的圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.
21. （本小题满分12分）
设（且），是的反函数.
（1）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；
（2）当（为自然对数的底数）时，证明：；
（3）当时，试比较与4的大小，并说明理由.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知是的外角的平分线，交的延长线于点，延长交的外接圆于点，连接.
（1）求证：；
（2）若是外接圆的直径，，，求的长.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）证明：.
一、选择题
CCADC BBCBC BA
二、填空题
13. 41 14. 15. 16.1或2或4
三、解答题
17.（1）∵，∴，∴，
∴，∵，∴，∴，
所以当时，取最小值；当时，取最大值1.
由正弦定理得：，∴.
18.（1）解法一：
容易算得：，
，，
故所求的回归直线方程为
解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似值直线上升，为此时数据预处理如下表：
对预处理后的数据，容易算得：，，
，
所求的回归直线方程为，
即.
（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当，
当时，满足（1）中所求的回归直线方程，此时（万吨）
19.（1）证明：在梯形中，
∵，，，∴，
∴，
∴，∴，
∴平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，
令，则，
∴.
设为平面的一个法向量，
由，得，
取，则，
∵是平面的一个法向量，
∴.
∵，∴当时，有最小值，
当时，有最大值，
∴.
20.（1）由已知得：，由已知易得，解得，则椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，由，解得，设
，
.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得
，
依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，则，，
又，，
所以
综上得：为定值2.
（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）
21.（1）由题意，得，
故，，
由，得，.
则，
令，得，知在区间上递增；
令，得，知在区间上递减，
所以当时，，有当时，；时，，所以，
所以的取值范围为.
（2）
令
则，所以在上是增函数，
又因为当时，，所以
即，即
（3）设，则，
当时，，当时，
设时，则，
所以
从而
所以，
综上所述，总有.
22.（1）证明：∵平分，∴，因为四边形内接于圆，∴，
又∵，∴，∴.
（2）∵是圆的直径，∴，∵，∴，∴，在中，∵，，∴，又在中，，，∴.
23.（1）∵曲线的参数方程为（为参数）.
∴曲线的普通方程为.
曲线表示以为圆心，为半径为圆，将代入并化简得：，
即曲线的极坐标方程为.
（2）∵直线的直角坐标方程为
∴圆心到直线的距离为，∴弦长为.
24.（1）当时，，原不等式等价于
或或
解得：或或.
不等式的解集为.
（2）
当且仅当时等号成立.
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