广东省惠州市黄冈中学惠州学校2017届高三开学考试理科数学试题 Word版（含答案）.doc

绝密★启用前2016年7月26日15：00~17:00 试卷类型：A 广东省惠州市黄冈中学惠州学校2017届高三年级开学考试 理科数学试题 ‎ 本试题卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则集合B中的元素个数为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．函数f（x）=+的定义域为（　　 ）‎ ‎ A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x＞1}‎ ‎3．若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为　　　　（　　 ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎5．已知等差数列的前9项和为27，，则（ ） ‎ ‎ A．100 B．99 C．98 D．97‎ ‎6．直线：与圆的位置关系是（ ）‎ ‎ A．相切或相交 B．相切或相离 ‎ C．相切 D．相离 ‎7．已知函数f（x）= sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（　 　）‎ ‎ A．函数f（x）的最小正周期为π ‎ B．函数f（x）的图象关于x=对称 ‎ C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到 ‎ D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数 ‎8．设函数,若，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知数列的前项和为，且满足．若数列满足，则使数列的前项和取最大值时的的值为（ ）‎ ‎ A．8 B．10 C．8或9 D．9或10‎ ‎10．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎11．非空数集A如果满足：①0A；②若对xA，有A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：‎ ‎①{xR|x2+ax+1=0}；  ②{x|x2﹣4x+1＜0}；  ③{y|y=．‎ 其中“互倒集”的个数是（ ）‎ ‎       A．3              B．2              C．1              D．0‎ ‎12．已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x 的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）‎ ‎ （A）（0，] （B）[，] （C）[，]{} （D）[，）{}‎ 第II卷 二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上。‎ ‎13．当实数满不等式组：时，恒有成立，则实数的取值范围是________．‎ ‎14．已知α，β∈（0，），满足tan（α+β）=9tanβ，则tanα的最大值为　 　．‎ ‎15．在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•=　 　．‎ ‎16．在中， ,点D在边上，，则的长为　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知： ， ，记函数，且的最小正周期为． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调递减区间．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设的内角所对的边分别为，且，，. ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，证明：.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某工厂2016年计划生产A、B两种不同产品，产品总数不超过件，生产产品的总费用不超过万元．A、B两个产品的生产成本分别为每件元和每件元,假定该工厂生产的A、B两种产品都能销售出去，A、B两种产品每件能给公司带来的收益分别为万元和万元．问该工厂如何分配A、B两种产品的生产数量，才能使工厂的收益最大？最大收益是多少万元？‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若· =12，其中O为坐标原点，求︱MN︱.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数满足：，．‎ ‎（Ⅰ）求的值，并探究是否存在常数,使得对函数在定义域内的任意，都有成立；‎ ‎（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 广东省惠州市黄冈中学惠州学校2017届高三年级开学考试 数学试题参考答案 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．A 7．C 8．C 9．D 10．A 11．B 12．C 二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上。‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎ ‎ ‎ …………………… 4分 ‎ （1） ……………………5分 ‎ ‎（2）由（1）得 解得……12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：(1)由余弦定理得：， …………………… 2分 即. ∴ ，∴. ………………… 4分 由，解得. …………………… 6分 ‎(2)在中，，∴. ………… 7分由正弦定理得：， ∴. … ………… 8分 ‎ 又，∴，∴， …………………… 10分 ‎∴. …………… 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：设工厂生产A、B两种产品分别为件和件,总收益为元，‎ 由题意得， …………………… 3分 目标函数. …………………… 4分 二元一次不等式组等价于.‎ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分. ……………… 7分 作直线 ,即, ‎ 平移直线，从图中可知,当直线过点时，目标函数取得最大值.……………… 9分 联立, 解得. ……………… 10分 所以点的坐标为,此时. …………… 11分 所以该工厂生产A产品100件, 生产B产品200件时收益最大，最大收益是70万元. ……………… 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由，得，解得， …………………2分 所以（）.‎ ‎ 假设存在常数符合要求，即，成立.‎ 特别当时有，即，解得. …………………4分 下面证明，恒成立. 事实上，当 时，则 ‎. ‎ 所以存在常数,满足题设要求. …………………6分 方法2：假设存在常数符合要求，即，成立.则 ‎， …………………3分 即，‎ 变形得， …………………5分 整理得，.‎ 所以存在常数,满足题设要求. …………………6分 ‎（2）问题即为对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 故必有或． …………………7分 ‎ 在或下，问题化为对恒成立， ‎ 即对恒成立， ‎ ‎① 当时，或， …………………8分 ‎② 当时，且对恒成立，‎ 对于对恒成立，等价于， ‎ 令，，则，，‎ ‎，递增， ，‎ 即，结合或， …………………10分 对于对恒成立，等价于 令，，则，，‎ ‎，递减， ，‎ ‎，结合或，， ‎ 综上，实数的取值范围为 …………………12分