数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知角的终边经过点,则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3. 已知是平面向量,如果,那么与的数量积等于（ ）
A． B． C． D．
4. 已知等差数列的前项和为, 如果当时, 最小，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5. 若运行如图所示程序框图，则输出结果的值为（ ）
A． B． C． D．
6. 下图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图）正视图、侧视图、俯视图都是等腰直角三角形，如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为,那么这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7. 现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券,则此人得奖金额的数
学期望为（ ）
A． B． C． D．
8. 设是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过,若,则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9. 设,则（ ）
A． B． C． D．
10. 已知体积为的长方体的八个顶点都在球的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为、,那么球的体积等于（ ）
A． B． C． D．
11. 已知焦点在轴上的双曲线的中心是原点，离心率等于，以双曲线的一个焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12. 已知, 下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 某工厂生产的、、三种不同型号的产品数量之比依次为,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为 ．
14. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列,则实数的取值范围为 ．
15. 若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,则实数的值为 ．
16. 已知实数满足约束条件,那么的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）的内角、、对的边分别为、、 , 与垂直.
（1）求的值；
（2）若,求的面积的最大值.
18. （本小题满分12分）―个盒子里装有若干个均匀的红球和白球,每个球被取到的概率相等.若从盒子里随机取一个球,取到的球是红球的概率为,若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为.
（1）该盒子里的红球、白球分别为多少个？
（2）若一次从盒子中随机取出个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率.
19. （本小题满分12分）如图，三棱柱中，为的中点,为的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）若三棱柱 是正三棱柱， ,求平面与平面所成二面角的正弦值.
20. （本小题满分12分）已知抛物线 的焦点为，准线为,经过上任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为、.
（1）求证：以为直径的圆经过点；
（2）比较与 的大小 .
21. （本小题满分12分）已知是自然对数的底数,.
（1）设,当时, 求证：在上单调递增；
（2）若,求实数的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图,是的内接三角形，是 的切线，是线段上一点,经过作的平行直线与交于点，与交于点.
（1）求证：；
（2）若,求的面积.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直用坐标系中，直线的参数方程为为参数〕.在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆心的极坐标为，圆的半径为.
（1）直接写出直线的直角坐标方程，圆 的极坐标方程；
（2）设是线上的点，是圆上的点，求的最小值.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知常数是实数，的解集为 .
（1）求实数的值；
（2）若 对任意实数都成立，求实数的取值范围.
云南省2016届高三第二次统一检测数学（理）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1-5.ADACD 6-10.CBDBA 11-12.CB
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）与垂直,, 即.
根据正弦定理得. 由余弦定理得.
18. 解：（1）设该盒子里有红球个, 有白球个.根据题意得.解方程组得.
红球个,白球个.
（2）设“从盒子中任取个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件,则.
因此,从盒子中任取个球,取到的白球个数不少于红球个数的概率为.
19. 解：（1）证明：设的中点为，连接.则是中位线，根据已知得,且 .四边形是平行四边形平面平面,直线平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知得.
.设平面的一个法向量为,则.
,取,解得.是平面的一个法向量. 由已知易得是平面的一个法向量. 设平面和平面所成二面角的大小为,则.
平面和平面所成二面角的正弦值为.
20. 解：（1）证明：根据已知得的方程为.设,且.
由得,从而,化简得.同理可得为方程的根. ,
,即,以为直径的圆经过点.
（2）根据已知得.又由（1）知：.
21. 解：（1）.
关于单调递增, 在上单调递增.
（2）设,则.设,
则在内单调递增,
当时,. 即,当时,.
当时, 在内单调递增. 当,时,, 即.当时, 由得
又关于单调递增, 当时, 单调递减.
设,则,即.
当时, 不成立.
综上, 若的取值范围.
22. 解：（1）是的内接三角形，是 的切线，为切点. 是弦切角.
,由已知得..又.
（2）延长与交于,连接,则是的直径, 且是 的切线, 为为切点,
,在中,.
根据已知和得.又.的直径为的面积为.
23. 解：（1）直线的坐标方程为,
圆的极坐标方程为.
（2）圆心的直角坐标为直线的距离,根据圆的几何意义得
的最小值等于.的最小值为.
24. 解：（1）由得.,即
.
由已知得,解得.
（2）由得,设的最大值为.
对任意实数都成立,.
实数的取值范围.
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