2015-2016学年江西省九江市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共16小题，每小题5分，满分60分）
1．函数y=2sin（4x+）+1的最小正周期是（ ）
A．2π B．π C． D．
2．[重点中学做]已知向量，是两个不共线的向量，若=4+与=﹣λ共线，则λ的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣ C． D．4
3．[普通中学做]已知向量=（1，k），=（2，3），若∥，则实数k的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
4．经调查统计，在某十字路中红亮起时排队等候的车辆数及相应概率如下：
排队车辆数
0
1
2
3
≥4
概率
x
0.3
0.3
0.2
0.1
则该十字路口红灯亮起时至多有2辆车排队等候的概率是（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
5．执行如图的程序后，输出的结果是（ ）
A．1，3 B．4，1 C．0，0 D．4，﹣2
6．[重点中学做]已知tan（α﹣）=2，则tanα=（ ）
A． B．3 C．﹣ D．﹣3
7．已知sinβ=，则cos（+β）的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
8．某学校决定从高一（1）班60名学生中利用随机数表法抽取10人进行调研，先将60名学生按01，02，…，60进行编号；如果从第8行第7列的数开始从左向右读，则抽取到的第4个人的编号为（ ）
（下面摘取了第7行到第9行）
8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392
6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439
1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931．
A．16 B．38 C．21 D．50
9．如图所示，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边BC、CD、DA的中点，令x=•，y=•，z=•，则x，y，z的大小关系为（ ）
A．x=y＞z B．x=z＞y C．y=z＞x D．x=y＜z
10．执行如图所示的程序框图，输出的S值是（ ）
A．0 B． C．1+ D．1+
11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
12．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）在x=π处取最大值，则（ ）
A．f（x﹣π）一定是奇函数 B．f（x﹣π）一定是偶函数
C．f（x+π）一定是奇函数 D．f（x+π）一定是偶函数
13．[重点中学做]定义：[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1，给出下列结论：
①函数y=[sinx]是奇函数；
②函数y=[sinx]是周期为π的周期函数；
③函数y=[sinx]﹣cosx不存在零点；
④函数y=[sinx]﹣[cosx]的值域为[﹣1，0，1]．
其中正确结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
14．[普通中学做]定义：[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．若f（x）=sin（x﹣[x]），则下列结论中正确的是（ ）
A．y=f（x）的最小值为0，最大值为sin1
B．y=f（x）无最小值，最大值为sin1
C．y=f（x）的最小值为0，无最大值
D．y=f（x）无最小值，无最大值
15．[重点中学做]设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用，，，分别表示向量，，，．已知•+•=•+•=•+•，||=1，||=，||=，则∠C=（ ）
A． B． C． D．
16．[普通中学做]设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用，，，分别表示向量，，，．已知•+•=•+•=•+•，||=||=5，||=6，则||=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
17．已知向量=（1，2），﹣=（0，x），⊥，则x= ．
18．由下面样本数据利用最小二乘法求出的线性回归方程是=﹣20x+a，则实数a=
x
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
y
90
84
83
80
75
68
19．若有放回地从1，2，5，7中任取两数，则这两数的和为奇数的概率为 ．
20．[重点中学做]已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是 ．
21．[普通中学做]若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上单调递增，则ω的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题，满分60分）
22．运行如图程序框图．
（1）当输入x的值等于2π时，求输出y的值；
（2）当输出y的值最大时，求输入x的值．
23．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，它们的中位数相同，平均数也相同．
（1）求m，n的值；
（2）若从甲、乙两组数据中随机各抽取一个数据，求乙的数据大于甲的数据的概率．
24．[重点中学做]如图所示，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的横坐标为﹣．
（1）求的值；
（2）若•=，求sinβ的值．
25．[普通中学做]如图所示，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点Q的横坐标为．
（1）求的值；
（2）若•=，求cosα的值．
26．某班n名学生的综合素质测评成绩（百分制）频率分布直方图如图所示，已知70～80分数段的学生人数为27人，90～95分数段的学生中女生为2人．
（1）求a，n的值；
（2）若从90～95分数段内的学生中随机抽取2人，求其中至少有一名女生的概率．
28．如图所示，四边形ABCD中，AB=AD=2，△BCD为正三角形，设∠BAD=α（α∈（0，π））．
（1）当α=时，求•的值；
（2）[重点中学做]当α为多少时，△ABC的面积S最大？并求S的最大值．
（3）[普通中学做]记△BCD的面积S=f（α），求函数g（α）=f（α）﹣2sinα的最小值．
请考生在第29~31题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（共3小题，满分10分）
29．已知向量=（1，2），=（﹣1，2），=（5，2）．
（1）求满足=m+n的实数m、n；
（2）若（+k）⊥，求实数k的值．
30．已知向量，是夹角为60°的两个单位向量， =，且．
（1）求实数λ的值；
（2）求向量的模||．
31．已知向量与的夹角为30°，且||=2，||=．
（1）求|﹣2|的值；
（2）设向量=+2， =﹣2，求向量在方向上的投影．
2015-2016学年江西省九江市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16小题，每小题5分，满分60分）
1．函数y=2sin（4x+）+1的最小正周期是（ ）
A．2π B．π C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
【解答】解：函数y=2sin（4x+）+1的最小正周期是=，
故选：C．
2．[重点中学做]已知向量，是两个不共线的向量，若=4+与=﹣λ共线，则λ的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣ C． D．4
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：由题意可得=，解得λ=﹣，
故选：B．
3．[普通中学做]已知向量=（1，k），=（2，3），若∥，则实数k的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用平面向量平行的坐标表示，列出方程求出实数k的值．
【解答】解：向量=（1，k），=（2，3），且∥，
所以1×3﹣2k=0，
解得k=．
故选：B．
4．经调查统计，在某十字路中红亮起时排队等候的车辆数及相应概率如下：
排队车辆数
0
1
2
3
≥4
概率
x
0.3
0.3
0.2
0.1
则该十字路口红灯亮起时至多有2辆车排队等候的概率是（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【考点】几何概型．
【分析】利用古典概型的概率公式解答．
【解答】解：由题意，该十字路口红灯亮起时至多有2辆车排队等候即排队等候的车辆数为0，1，2，
所以P=1﹣（0.2+0.1）=0.7；
故选A．
5．执行如图的程序后，输出的结果是（ ）
A．1，3 B．4，1 C．0，0 D．4，﹣2
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出a，b的值即可．
【解答】解：模拟直线程序，可得
a=1，b=3
a=1+3=4，
b=4﹣3=1，
输出a，b的值分别为：4，1．
故选：B．
6．[重点中学做]已知tan（α﹣）=2，则tanα=（ ）
A． B．3 C．﹣ D．﹣3
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得tanα的值．
【解答】解：∵已知tan（α﹣）=2，则tanα=tan[（α﹣）+]===﹣3，
故选：D．
7．已知sinβ=，则cos（+β）的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
【分析】运用诱导公式即可化简求值．
【解答】解：∵sinβ=，
∴cos（+β）=sinβ=．
故选：C．
8．某学校决定从高一（1）班60名学生中利用随机数表法抽取10人进行调研，先将60名学生按01，02，…，60进行编号；如果从第8行第7列的数开始从左向右读，则抽取到的第4个人的编号为（ ）
（下面摘取了第7行到第9行）
8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392
6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439
1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931．
A．16 B．38 C．21 D．50
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据随机数表法的读法，可得答案．
【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是16，
第二个数59，
第三个数38，
第四个数21．
∴第4个样本个体的编号是21，
故选：C，
9．如图所示，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边BC、CD、DA的中点，令x=•，y=•，z=•，则x，y，z的大小关系为（ ）
A．x=y＞z B．x=z＞y C．y=z＞x D．x=y＜z
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】将正方形放入坐标系中，设正方形的边长为2，求出对应点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可．
【解答】解：将正方形放入坐标系中，设正方形的边长为2，则
A（0，0），C（2，2），E（2，1），F（1，2），G（0，1），
则=（2，2），=（2，1），=（1，2），=（0，1），
则x=•=2×2+2×1=4+2=6，
y=•=2×1+2×2=2+4=6，
z=•=2×0+2×1=2，
故x=y＞z，
故选：A．
10．执行如图所示的程序框图，输出的S值是（ ）
A．0 B． C．1+ D．1+
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=sin+sin+sin+sin+sin+…+sin的值，由此求出结果即可．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
n=1，s=0，
执行循环体，s=0+sin=，n=2，
不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin=，n=3
不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+=1+，n=4
不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin=1+，n=5
不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin+sin=，n=6
不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin+sin+sin=，n=7
不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin=0，n=8
不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin2π=0，n=9
不满足条件n≥2016？，执行循环体，s=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin2π+=，n=10
…
s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，
又2016=252×8，此时终止循环，
所以输出的s值与n=7时相同，为s=0．
故选：A．
11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数的图象顶点的纵坐标求出A，周期，根据周期公式可求ω，根据φ=2kπ+求出φ值，进而利用诱导公式可求f（x），可求f在函数图象上，2=2sin（φ），
∴φ=2kπ+，k∈Z，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，
∴f（x）=2sin（x+2kπ﹣）=﹣2cosx，
∴f若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）在x=π处取最大值，则（ ）
A．f（x﹣π）一定是奇函数 B．f（x﹣π）一定是偶函数
C．f（x+π）一定是奇函数 D．f（x+π）一定是偶函数
【考点】正弦函数的图象．
【分析】利用诱导公式化简f（x）的解析式，从而得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）在x=π处取最大值，
∴sin（ωπ+φ）=1，ωπ+φ=2kπ+，
即 φ=2kπ+﹣ωπ，∴f（x）=sin（ωx+φ）=sin（ωx+2kπ+﹣ωπ ）=cosω（x﹣π），
故f（x﹣π）=cosω（x﹣π﹣π）=cos（ωx﹣2ωπ），它的奇偶性不确定，故排除A、B；
∴而f（x+π）=cosω（x+π﹣π）=cosωx，一定是偶函数，故排除C，
故选：D．
13．[重点中学做]定义：[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1，给出下列结论：
①函数y=[sinx]是奇函数；
②函数y=[sinx]是周期为π的周期函数；
③函数y=[sinx]﹣cosx不存在零点；
④函数y=[sinx]﹣[cosx]的值域为[﹣1，0，1]．
其中正确结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【考点】函数的值．
【分析】作出函数y=[sinx]，x∈[0，2π]的图象，利用数形结合思想和分类讨论思想求出结果．
【解答】解：函数y=[sinx]，x∈[0，2π]的图象如图所示，
故①②错误，③正确；
对于④，当x=0时，y=﹣1；当x∈（0，）时，y=0．
当x∈[，π]时，y=1，当x∈（π，]时，y=0．
当x∈[，2π）时，y=﹣1．
故④正确．
故选：C．
14．[普通中学做]定义：[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．若f（x）=sin（x﹣[x]），则下列结论中正确的是（ ）
A．y=f（x）的最小值为0，最大值为sin1
B．y=f（x）无最小值，最大值为sin1
C．y=f（x）的最小值为0，无最大值
D．y=f（x）无最小值，无最大值
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】根据f（x+1）=f（x）可得1为函数的周期，再求出函数的值域，进而可得结论．
【解答】解：f（x+1）=sin（x+1﹣[x+1]）=sin（x+1﹣[x]﹣1）=sin（x﹣[x]）=f（x），
故y=f（x）是周期函数，周期为1．
由g（x）=x﹣[x]在[k，k+1）（k∈Z）上是单调递增的周期函数，
且g（x）∈[0，1），故y=f（x）=sin（x﹣[x]）∈[0，sin1），
即y=f（x）的最小值为0，无最大值，
故选：C．
15．[重点中学做]设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用，，，分别表示向量，，，．已知•+•=•+•=•+•，||=1，||=，||=，则∠C=（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的公式和条件进行化简得到H是△ABC的垂心，结合三角形的边角关系进行求解即可．
【解答】解：由题意知•+•=•+•，
即•（﹣）+•（﹣）=0，即•=0．
同理得•=0，故H是△ABC的垂心，
设∠CAD=∠CBE=θ，则DH=sinθ，BD=cosθ，DC=tanθ（1+sinθ）=，
∴BD+DC=cosθ+=，
整理得cosθ﹣sinθ=，即cos（θ+）=，
则θ+=，即θ=，则C=，
故选：A．
16．[普通中学做]设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用，，，分别表示向量，，，．已知•+•=•+•=•+•，||=||=5，||=6，则||=（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的公式和条件进行化简得到H是△ABC的垂心，结合三角形的边角关系进行求解即可．
【解答】解：由题意知•+•=•+•，
即•（﹣）+•（﹣）=0，即•=0．
同理得•=0，故H是△ABC的垂心，如图所示，
在Rt△CAD中，tan∠CAD=，
∵∠CAD=∠CBE，
∴=，即DH=，
∴AH=4﹣=，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
17．已知向量=（1，2），﹣=（0，x），⊥，则x= ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的加法运算法则求出向量的坐标，结合向量垂直转化为向量数量积为0，解方程即可．
【解答】解：∵向量=（1，2），﹣=（0，x），
∴向量=﹣（0，x）=（1，2）﹣（0，x）=（1，2﹣x），
∵⊥，∴•=0，
即1×1+2×（2﹣x）=0，得x=，
故答案为：．
18．由下面样本数据利用最小二乘法求出的线性回归方程是=﹣20x+a，则实数a= 250
x
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
y
90
84
83
80
75
68
【考点】线性回归方程．
【分析】求出样本中心，利用回归直线方程求解即可．
【解答】解：由题意， =8.5， =80．
∴样本中心坐标（8.5，80），
回归直线经过样本中心，可得80=﹣20×8.5+a，解得a=250．
故答案为：250．
19．若有放回地从1，2，5，7中任取两数，则这两数的和为奇数的概率为 ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】分别列举出所有的基本事件和满足条件的事件，求出其概率即可．
【解答】解：基本事件为：
（1，1），（1，2），（1，5），（1，7），
（2，1），（2，2），（2，5），（2，7），
（5，1），（5，2），（5，5），（5，7），
（7，1），（7，2），（7，5），（7，7），
共16个，
两数的和为奇数为：
（1，2），（（2，1），（2，5），
（2，7），（5，2），（7，2），
共6个，
∴P（两数的和为奇数）==，
故答案为：．
20．[重点中学做]已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是 [，] ．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意可得ω•+≥+2kπ，且ω•π+≤+2kπ，由此求得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，π）上单调递减，则ω•+≥+2kπ，且ω•π+≤+2kπ，k∈Z，
求得4k+≤ω≤+2k，取k=0，可得ω的取值范围为[，]，
故答案为：[，]．
21．[普通中学做]若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上单调递增，则ω的取值范围是 （ 0，1] ．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意可得ω•≥2kπ﹣，且ω•≤2kπ+，k∈Z，由此求得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上单调递增，∴ω•≥2kπ﹣，且ω•≤2kπ+，k∈Z，
求得ω≥12k﹣6，且ω≤4k+1，令k=0，可得ω的取值范围为（ 0，1]，
故答案为：（ 0，1]．
三、解答题（共6小题，满分60分）
22．运行如图程序框图．
（1）当输入x的值等于2π时，求输出y的值；
（2）当输出y的值最大时，求输入x的值．
【考点】程序框图．
【分析】（1）模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，代入x=2π，即可计算求值得解．
（2）根据函数y=f（x）的单调性，即可得解输出的y的值最大，及此时输入的x的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵y=，…3分
当x=2π时，y=﹣（2π）2+π×2π=﹣2π2…6分
（2）函数y=f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，…9分
∴输出的y的值最大是1，此时输入x=…12分
23．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，它们的中位数相同，平均数也相同．
（1）求m，n的值；
（2）若从甲、乙两组数据中随机各抽取一个数据，求乙的数据大于甲的数据的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．
【分析】（1）求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；
（2）确定基本事件的情况，即可求乙的数据大于甲的数据的概率．
【解答】解：（1）根据茎叶图，得乙的中位数是12，∴甲的中位数也是12，即m=2
甲平均数是（2+12+19）=11，乙平均数是：（n+11+13+17）=11，
∴n=3．
（2）从甲、乙两组数据中随机各抽取一个数据，可能情况共有3×4=12种．
当乙取3，11时，甲取2，当乙取13，17时，甲取2，12，故满足乙的数据大于甲的数据共有6种情况，
∴乙的数据大于甲的数据的概率为=．
24．[重点中学做]如图所示，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的横坐标为﹣．
（1）求的值；
（2）若•=，求sinβ的值．
【考点】任意角的三角函数的定义；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义，求得cosα、sinα、tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要去式子的值．
（2）利用两个向量数量积的定义求得cos（α﹣β） 和sin（α﹣β）的值，再利用两角差的正弦公式求得 sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]的值．
【解答】解：（1）由题意可得cosα=﹣，sinα=，tanα==﹣，
∴===﹣．
（2）若•=|OP|•|OQ|•cos（α﹣β）=cos（α﹣β）=，即 cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==．
∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=﹣（﹣）•=．
25．[普通中学做]如图所示，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点Q的横坐标为．
（1）求的值；
（2）若•=，求cosα的值．
【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义；三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用三角函数的定义，求出β的正弦函数与余弦函数值，即可求解所求表达式的值．
（2）利用向量的数量积化简求解cosα的值即可．
【解答】解：（1）由三角函数定义可得cosβ=，sinβ=，则tanβ=．
∴====．
（2）∵•=，∴=，∴cos（α﹣β）=，∴，
cosα=cos（）=cosβcos﹣sinβsin==．
26．某班n名学生的综合素质测评成绩（百分制）频率分布直方图如图所示，已知70～80分数段的学生人数为27人，90～95分数段的学生中女生为2人．
（1）求a，n的值；
（2）若从90～95分数段内的学生中随机抽取2人，求其中至少有一名女生的概率．
【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方图求出a的值，从而求出n即可；
（2）先得到男生4人，记为：a，b，c，d，女生2人，记为：e，f，列出所有的基本事件以及满足条件的事件，从而求出满足条件的概率即可．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
（a+a+2a+3a+4a+4a+5a）×5=1，解得：a=0.01，
由已知得（4a+5a）×5=，解得：n=60；
（2）90～95分数段内的学生数是2a×5×60=6，
则男生4人，记为：a，b，c，d，女生2人，记为：e，f，
若从90～95分数段内的学生中随机抽取2人，
共有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，
共15种情形，
其中满足至少有一名女生共有：
ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，
共9种情形，
∴其中至少有一名女生的概率是p==．
28．如图所示，四边形ABCD中，AB=AD=2，△BCD为正三角形，设∠BAD=α（α∈（0，π））．
（1）当α=时，求•的值；
（2）[重点中学做]当α为多少时，△ABC的面积S最大？并求S的最大值．
（3）[普通中学做]记△BCD的面积S=f（α），求函数g（α）=f（α）﹣2sinα的最小值．
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）根据向量数量积的公式进行计算即可，
（2）根据三角形的面积公式，结合三角函数辅助角公式进行化简，结合三角形的图象和性质进行求解即可．
（3）根据三角形的面积公式，结合三角函数辅助角公式进行化简，结合三角形的图象和性质进行求解即可．
【解答】解：（1）设AC∩BD=0，则O是BD的中点，且AC⊥BD，
当α=时，AO=，OC=，
则•=•（﹣）=2﹣•=（）2﹣（）•=2+6．
（2）由题意得BC=BD=4sin，
则S=AB•BCsin∠ABC=sin•sin（+）=4sin•sin（+）=4sin•（sincos+cossin）=4sin•（cos+sin）
=2sincos+2sin2=sinα+（1﹣cosα）=2sin（α﹣）+，
∵0＜α＜π，∴﹣＜α﹣＜，
∴当α﹣=，即α=时，S取得最大值，此时S=2+．
（3）由题意得BC=BD=4sin，
S=f（α）=（4sin）2=4•=﹣2cosα+2，
则g（α）=﹣2cosα+2﹣2sinα=﹣4sin（α+）+2，
∵0＜α＜π，∴＜α+＜，
∴当α+=，即α=时，g（α）取得最小值，
故g（α）=f（α）﹣2sinα的最小值为g（）=2﹣4．
请考生在第29~31题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（共3小题，满分10分）
29．已知向量=（1，2），=（﹣1，2），=（5，2）．
（1）求满足=m+n的实数m、n；
（2）若（+k）⊥，求实数k的值．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】（1）=m+n，可得，解出即可得出．
（2）+k=（1﹣k，2+2k），由（+k）⊥，（ +k）•=0，解出即可得出．
【解答】解：（1）=m+n，可得（5，2）=m（1，2）+n（﹣1，2），∴，解得m=3，n=﹣2．
（2）+k=（1，2）+k（﹣1，2）=（1﹣k，2+2k），
∵（+k）⊥，∴5（1﹣k）+2（2+2k）=0，解得k=9．
30．已知向量，是夹角为60°的两个单位向量， =，且．
（1）求实数λ的值；
（2）求向量的模||．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】（1）==1， =，由于，可得=（）=0．展开解出即可得出．
（2）利用==即可得出．
【解答】解：（1）∵==1，向量，是夹角为60°，
∴=1×1×cos60°=，
∵，
∴=（）=+==0．
解得．
（2）====．
31．已知向量与的夹角为30°，且||=2，||=．
（1）求|﹣2|的值；
（2）设向量=+2， =﹣2，求向量在方向上的投影．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据向量的数量积的运算法则计算即可，
（2）根据向量的投影的定义即可求出．
【解答】解：（1）∵向量与的夹角为30°，且||=2，||=，
∴|﹣2|2=||2+4||2﹣4||•||cos30°=4+12﹣12=4，
∴|﹣2|=2，
（2）由（1）知||=﹣2=2，
∵=（+2）•（﹣2）=||2﹣4||2=4﹣12=﹣8，
∴向量在方向上的投影为==﹣4．
2016年8月20日
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