2015-2016学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若直线l：y=x+2，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知a，b，c是不重合的三条直线，α，β是不重合的两个平面，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，α∥β，则a∥β
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
4．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则 D．若a2＞b2且ab＞0，则
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a=1，b=，A=30°，则c的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或2 D．或2
6．若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣x+2y取最大值时的最优解是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（0，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，0）
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论错误的是（ ）
A．直线BD1与直线B1C所成的角为
B．直线B1C与直线A1C1所成的角为
C．线段BD1在平面AB1C内的射影是一个点
D．线段BD1恰被平面AB1C平分
8．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman=16a12，则+的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
9．已知直线l1：3x+4y﹣3=0与直线l2：6x+my+2=0平行，则m= ．
10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体共有 条棱；该几何体体积为 cm3．
11．已知数列{an}满足a1a2…an=n+1，则a3= ；若数列{bn}满足bn=，Sn为数列{bn}的前n项和，则Sn= ．
12．在△ABC中， •=2，∠BAC=，则S△ABC= ；若点M为△ABC内一动点，且S△AMC=1， +的最小值为 ．
13．若对任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|≥3恒成立，则a的取值范围为 ．
14．在数列{an}中，若点（n，an）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9= ．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1上一点，且DE=DD1，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知acosC+ccosA=2bcosA．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=1，求b+c的取值范围．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC交BD于点O，PD=PC=，PB=2，M为PB的中点．
（1）求证：BD⊥平面AMC；
（2）求二面角M﹣BD﹣C平面角的大小．
18．已知直线l1：3x+4ay﹣2=0（a＞0），l2：2x+y+2=0．
（1）当a=1时，直线l过l1与l2的交点，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0，求直线l的方程；
（2）求点M（，1）到直线l1的距离d的最大值．
19．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，m∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜n}，求实数m，n的值；
（2）若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．
20．设数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n﹣an（n∈N*）．
（Ⅰ）求a1，an；
（Ⅱ）若bn=n（2﹣n）（an﹣1），且对任意的正整数n，都有bn+t≤t2，求实数t的取值范围．
2015-2016学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若直线l：y=x+2，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【分析】根据直线的斜截式方程，得到直线的斜率，利用斜率和倾斜角之间的关系进行求解即可．
【解答】解：由直线方程可知直线的斜率k=，
设直线的倾斜角为α，则k=tan，
解得α=60°，
故选：C．
2．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
【解答】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
3．已知a，b，c是不重合的三条直线，α，β是不重合的两个平面，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，α∥β，则a∥β
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，∵a∥α，b∥α，∴当a，b共面时，满足a∥b或a，b相交，当a，b不共面时，a和b为异面直线，∴a和b的关系是平行、相交或异面．即A不正确；
对于B，若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β．即B不正确；
对于C，若a⊥c，b⊥c，则a∥b或相交或异面，即C不正确；
对于D，若a⊥α，b⊥α，根据垂直于同一平面的两条直线平行，可得a∥b，正确．
故选：D．
4．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则 D．若a2＞b2且ab＞0，则
【考点】不等关系与不等式．
【分析】根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证．
【解答】解：A．若a＞b，则ac2＞bc2（错），若c=0，则A不成立；
B．若，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立；
C．若a3＞b3且ab＜0，则（对），若a3＞b3且ab＜0，则
D．若a2＞b2且ab＞0，则（错），若，则D不成立．
故选C．
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a=1，b=，A=30°，则c的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或2 D．或2
【考点】余弦定理．
【分析】由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解答】解：由a=1，b=，A=30°，
根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：
12=（）2+c2﹣2c•cos30°，
化简得：c2﹣3c+2=0，即（c﹣1）（c﹣2）=0，
解得：c=1或c=2，
则c的值为1或2．
故选C
6．若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣x+2y取最大值时的最优解是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（0，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，0）
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值时的最优解．
【解答】解：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）
由z=﹣x+2y得y=x+z，
平移直线y=x+z，
由图象可知当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，
B（﹣1，0）；所以目标函数z=﹣x+2y取最大值时的最优解是（﹣1，0）；
故选：D．
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论错误的是（ ）
A．直线BD1与直线B1C所成的角为
B．直线B1C与直线A1C1所成的角为
C．线段BD1在平面AB1C内的射影是一个点
D．线段BD1恰被平面AB1C平分
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】利用正方体的性质结合三垂线定理进行判断分析．
【解答】解：因为已知为正方体，由三垂线定理得到直线BD1与平面AB1C垂直，所以直线BD1与直线B1C垂直；故A正确；
因为三角形AB1C是等边三角形，并且AC∥A1C1，所以直线B1C与直线A1C1所成的角为正确；
因为直线BD1与平面AB1C垂直，所以线段BD1在平面AB1C内的射影是一个点；正确；
利用正方体的对称性，线段BD1被平面AB1C和平面A1DC1分成3等分，且交点不重合；故D错误；
故选D．
8．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman=16a12，则+的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．
【分析】设{an}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出q，代入aman=16a12化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q，且q＞0，
由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，
化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），
因为aman=16a12，所以=16a12，
则qm+n﹣2=16，解得m+n=6，
所以=（m+n）（）=（10+）≥=，
当且仅当时取等号，此时，解得，
因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则＞，
验证可得，当m=2、n=4时，取最小值为，
故选：C．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
9．已知直线l1：3x+4y﹣3=0与直线l2：6x+my+2=0平行，则m= 8 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+2=0平行，得到关于m的方程，解出即可．
【解答】解：∵直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+2=0平行，
∴=≠，∴m=8，
故答案为：8．
10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体共有 8 条棱；该几何体体积为 1 cm3．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直．利用体积计算公式即可得出．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直．
∴该几何体的体积=×1×2=1cm2．
故答案为：8；1
11．已知数列{an}满足a1a2…an=n+1，则a3= ；若数列{bn}满足bn=，Sn为数列{bn}的前n项和，则Sn= ．
【考点】数列的求和．
【分析】求得a1=2，运用当n＞1时，an=，可得a3；an，求得bn==﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．
【解答】解：由a1a2…an=n+1，可得：
a1=2，a1a2=3，可得a2=，
a1a2a3=4，可得a3=；
当n＞1时，an==，
上式对n=1也成立；
则bn====﹣，
可得Sn=b1+b2+…+bn=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣=．
故答案为：，．
12．在△ABC中， •=2，∠BAC=，则S△ABC= ；若点M为△ABC内一动点，且S△AMC=1， +的最小值为 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件，根据向量数量积的计算公式便有，进而得出S△AMB=1，从而，根据基本不等式即可得出，从而可以得出，这样根据基本不等式即可求出要求的最小值．
【解答】解：根据题意： =；
∴；
∴；
又S△AMB=1；
∴；
∴；
∴；
∴S△AMB•S△CMB≤；
∴；
∴；
∴的最小值为．
故答案为：．
13．若对任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|≥3恒成立，则a的取值范围为 {a|a≤0或a≥6} ．
【考点】绝对值三角不等式．
【分析】由绝对值的代数意义确定出不等式左边的最小值为|a﹣3|，求出|a﹣3|≥3的解集即可确定出a的范围．
【解答】解：由绝对值的代数意义得：不等式|x﹣3|+|x﹣a|表示在数轴上表示x的点到表示3与表示a的点距离之和，
其最小值为|a﹣3|，
∵对任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|≥3恒成立，
∴|a﹣3|≥3，即a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，
解得：a≤0或a≥6，
则a的取值范围为{a|a≤0或a≥6}，
故答案为：{a|a≤0或a≥6}
14．在数列{an}中，若点（n，an）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9= 27 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】根据点（n，an）在定直线l上得到数列为等差数列，设出等差数列的通项，把（5，3）代入即可求出a5的值，根据等差数列的前n项和的公式及性质即可求出S9的值．
【解答】解：∵点（n，an）在定直线l上，
∴数列{an}为等差数列．
∴an=a1+（n﹣1）•d．
将（5，3）代入，得3=a1+4d=a5．
∴S9==9a5=3×9=27．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1上一点，且DE=DD1，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的取值范围是 [，] ．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】分别在CC1、C1D1上取点N、M，使得，，连接B1N、B1M，可证明平面MNB1∥平面A1BE，由B1F∥平面A1BE知点F在线段MN上，易证∠B1FC1为B1F与平面CDD1C1所成角，tan∠B1FC1═，设出棱长，可求得C1F的最大值、最小值，从而可得答案．
【解答】解：如图：分别在CC1、C1D1上取点N、M，使得，，连接B1N、B1M，则MN∥CD1，
∵BC∥AD，BC=AD，AD∥A1D1，AD=A1D1，∴BC∥A1D1，BC=A1D1，
∴四边形BCD1A1为平行四边形，则CD1∥BA1，
∴MN∥BA1，
∵，DE=DD1，∴NE∥C1D1，NE=C1D1，
又C1D1∥A1B1，C1D1=A1B1，
∴NE∥A1B1，NE=A1B1，
∴四边形NEA1B1为平行四边形，则B1N∥A1E，
且MN∩B1N=N，
∴平面MNB1∥平面A1BE，
∵B1F∥平面A1BE，点F必在线段MN上，
连接C1F，∵B1C1⊥平面CDD1C1，∴∠B1FC1即为B1F与平面CDD1C1所成角，
设正方体棱长为3，则C1N=C1M=2，当F为MN中点时，C1F最短为，
当F与M或N重合时，C1F最长为2，
tan∠B1FC1=∈[，]，即所求正切值的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知acosC+ccosA=2bcosA．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=1，求b+c的取值范围．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简acosC+ccosA=2bcosA，结合三角形的内角和，求解A即可．
（Ⅱ）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为acosC+ccosA=2bcosA，
所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，即sin（A+C）=2sinBcosA．
因为A+B+C=π，
所以sin（A+C）=sinB．
从而sinB=2sinBcosA．…
因为sinB≠0，
所以cosA=．
因为0＜A＜π，
所以A=．…
（Ⅱ）由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，
则1=b2+c2﹣bc，
∴（b+c）2﹣3bc=1，
即3bc=（b+c）2﹣1≤3[（b+c）]2，
化简得，（b+c）2≤4（当且仅当b=c时取等号），
则b+c≤2，又b+c＞a=1，
综上得，b+c的取值范围是（1，2]．…
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC交BD于点O，PD=PC=，PB=2，M为PB的中点．
（1）求证：BD⊥平面AMC；
（2）求二面角M﹣BD﹣C平面角的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）连结OM，推导出BD⊥AC，BD⊥OM，由此能证明BD⊥平面AMC．
（2）由MO⊥BD，CO⊥BD，得∠MOC是二面角M﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角M﹣BD﹣C平面角．
【解答】证明：（1）连结OM，
∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC交BD于点O，
PD=PC=，PB=2，M为PB的中点，
∴BD⊥AC，且O是BD中点，∴OM∥PD，
BD===，
∴BD2+PD2=PB2，∴BD⊥PD，∴BD⊥OM，
∵AC∩OM=O，∴BD⊥平面AMC，
解：（2）∵MO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠MOC是二面角M﹣BD﹣C的平面角，
∵M为PB的中点，O是BD中点，∴MO=，
CO==，
cos∠PBC==，
∴=，解得MC=．
∴MO=CO=MC=，
∴∠MOC=60°，
∴二面角M﹣BD﹣C平面角为60°．
18．已知直线l1：3x+4ay﹣2=0（a＞0），l2：2x+y+2=0．
（1）当a=1时，直线l过l1与l2的交点，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0，求直线l的方程；
（2）求点M（，1）到直线l1的距离d的最大值．
【考点】点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标．
【分析】（1）联立两个直线解析式先求出l1和l2的交点坐标，然后利用直线与直线x﹣2y﹣1=0垂直，根据斜率乘积为﹣1得到直线l的斜率，写出直线l方程即可；
（2）由直线l1过定点，把点M到直线l1的距离d的最大值转化为两点间的距离求解．
【解答】解：（1）当a=1时，直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：2x+y+2=0，
则，解得交点（﹣2，2）．
又由直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0，则直线x﹣2y﹣1=0的斜率，
∵两直线垂直得斜率乘积为﹣1，
得到kl=﹣2．
∴直线l的方程为y﹣2=﹣2（x+2），即2x+y+2=0．
（2）直线l1：3x+4ay﹣2=0（a＞0）过定点N（），
又M（），
∴点M到直线l1的距离d的最大值为|MN|=．
19．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，m∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜n}，求实数m，n的值；
（2）若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．
【分析】（1）根据题意，根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出m、n的值；
（2）根据题意得出，解不等式组即可．
【解答】解：（1）根据题意，关于x的不等式x2+mx﹣1＜0的解集是{x|﹣2＜x＜n}，
所以方程x2+mx﹣1=0的实数根为﹣2和n，
由根与系数的关系得，
m=，n=；
（2）对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，
可得，
解得﹣＜m＜0，
即实数m的取值范围是（﹣，0）．
20．设数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n﹣an（n∈N*）．
（Ⅰ）求a1，an；
（Ⅱ）若bn=n（2﹣n）（an﹣1），且对任意的正整数n，都有bn+t≤t2，求实数t的取值范围．
【考点】数列递推式．
【分析】（I）设Sn=a1+a2+a3+…+an=n﹣an（n∈N*）．n=1时，a1=1﹣a1，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，变形利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）bn=n（2﹣n）（an﹣1）=（n﹣2）×，对n分类讨论，利用数列的单调性与一元二次不等式的解法即可得出．
【解答】解：（I）设Sn=a1+a2+a3+…+an=n﹣an（n∈N*）．
∴a1=1﹣a1，解得a1=．
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n﹣an﹣（n﹣1﹣an﹣1），化为：2an=an﹣1+1，
变形为：an﹣1=（an﹣1﹣1），
∴数列{an﹣1}是等比数列，首项为，公比为．
∴an﹣1=×，
∴an=1﹣．
（II）bn=n（2﹣n）（an﹣1）=（n﹣2）×，
可得：b1=﹣，b2=0，b3=，
n≥3时，bn＞0，bn+1﹣bn=﹣（n﹣2）×=×，
∴n=3时，b3=b4，n≥4时，bn+1＜bn，此时数列{bn}单调递减，
因此n=3或4时，bn取得最大值．
∵对任意的正整数n，都有bn+t≤t2，
∴（bn）max，
∴，化为：8t2﹣2t﹣1≥0，
解得或t≤．
∴实数t的取值范围是∪．
2016年8月20日
微信/支付宝扫码支付