2016年高三学年摸底考试 数学文科试题
一、选择题（每小题5分，满分60分）
1．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D． 且
2．设为虚数单位，复数在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．下列命题中，说法错误的是（ ）
A．“若，则”的否命题是：“若，则”
B．“，”的否定是：“，”
C．若“，则函数是偶函数”的的逆命题是真命题
D．“是真命题”是“是真命题”的充分不必要条件
4．某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数（人）与月平均气温之
间的关系，随机统计了某4个月的月患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温
17
13
8
2
月患病（人）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的=，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（ ）
A． 38 B．40 C．46 D．58
5． 已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的
不小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的值域为，则与的关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
7.已知等比数列中，公比，且，，则（ ）
A． 2 B． 3或6 C． 6 D． 3
8.已知实数满足，如果目标函数的最小值为， 则实数的
值为（ ）
A． 0 B． 2 C．4 D． 8
9.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
10.若,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数，则实数是关于的方程有三个不同实数根的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
12．已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）
13．抛物线的焦点到准线的距离为 。
14．的顶点，，在正方形网格中的位置如图所示.
则_______.
A
B
C
15．已知实数且，函数
若数列满足，且是等差数列，则
16．若关于的函数（）的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 ．
三、解答题：
17、（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列，的前项和为，若且，求；
（3)设，求数列的前项和
18、（本题满分12分）
某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：
API
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为。在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的 经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的 经济损失为2000元；
（1）试写出是的表达式：
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；
（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
P(K2 ≥ k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附：
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
19. (本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积.
EA
DA
CA
BA
PA
A
20、（本题满分12分）
已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
21、（本题满分12分）
已知函数
（1）在的切线与直线平行，求的值。
（2）不等式对于的一切值恒成立，求实数的取值范围。
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．
如图，在正ΔABC中，点D、E分别在边BC, AC上,且,，AD，BE相交
于点P.
求证：(1) 四点P、D、C、E共 圆；
C
D
E
A
B
P
(2) AP ⊥CP。
23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
已知直线为参数), 曲线 （为参数）.
(1)设与相交于两点,求；
(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．
已知函数．
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
2016年高三摸底 数学文科试题答案
一、选择题：
1A 2C 3B 4C 5B 6A 7D 8D 9A 10D 11C 12D
二、填空题：
13、 14、 15、 16、3
三、解答题：
17、（1） 解得 （2分）
（4分）
（2）由上可得，，所以公比，
从而， （6分）
所以． （8分）
(3)由（1）知，.
∴ 10分
（12分）
18、（1）
（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A
……1分
由，得，频数为39，……3分
……………………….4分
（3）根据以上数据得到如下列联表：
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
合计
85
15
100
……………….8分
K2的观测值……………………….10分
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分
19、解：（1）因为，分别为，中点，
所以∥，
又平面，平面，
所以∥平面. …………………4分
（2）连结，
因为∥，又°，
所以.
又，为中点，
所以.
所以平面，
所以. …………………8分
（3）因为平面平面，
有，
所以平面，
所以. …………12分
20、（1）依题意有，．
可得，．
故椭圆方程为．………………………4分
（2）面积的最大值为 12分
21、解：（1）函数的定义域为，
， ………………………2分
，由题意得， ………………………3分
解得. …………………………4分
（2）不等式对于的一切值恒成立，等价于对于的一切值恒成立.
记，则. ………………6分
令，得，当变化时，的变化情况如下表
_
+
极小
∴的最小值为. ……………………………8分
记，则，令，得.
当变化时，的变化情况如下表：
↗
极大值
↘
∴当时，函数在上为增函数，，即在上的最小值，满足题意. …………10分
当时，函数在上为减函数，，即在上的最小值，满足题意.
当时，函数在上为减函数，，即在上的最小值，不满足题意.
综上,所求实数的取值范围为. ………………12分
22.证明：（I）在中，由知：
≌，………………2分
即.
所以四点共圆；………………5分
（II）如图，连结.
在中，,,
由正弦定理知.………………8分
由四点共圆知，,
所以………………10分
23．解.（I）的普通方程为的普通方程为
联立方程组解得与的交点为,,
则.
（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是
,
由此当时,取得最小值,且最小值为.
24.解：（Ⅰ）由得，∴，即，
∴，∴。┈┈┈┈4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，
则，
∴的最小值为4，故实数的取值范围是。┈┈┈┈┈10分
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