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2016-2017学年高三8月月考
理科数学
2016年8月
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：略
第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合,则( )
A． B． C． D．
2．若（为虚数单位），则的虚部是( )
A． B． C． D．
3．已知命题，命题，则命题是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列是等差数列，，则前项和中最大的是（ ）
A． B．或 C．或 D．
6．定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线y2=4x，过抛物线焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则|AB|=（ ）
A． B． C． 5 D．
8．在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为（ ）
- 12 -
A． B． C．5 D．10
9．执行如下右图所示的框图,若输出的结果为,则输入的实数的值是（ ）
A． B． C． D．
10．某三棱锥的三视图如上左图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． 4 C． 3 D． 2
11．已知变量满足约束条件，若目标函数仅在点处取到最大值，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
12．设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列命题正确的有几个。（ ）
①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.
A．0 B． 1 C． 2 D． 3
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．函数的定义域为___________.
- 12 -
14．二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为
15．已知函数的图像为曲线C，若曲线C不存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是
16．已知椭圆C：的左焦点为与过原点的直线相交于两点，连接，若，则C的离心率 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.
17．（本小题满分12分）中，角、、所对应的边分别为、、，若.
(1)求角；
(2)若，求的单调递增区间.
18．（本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.
19．（本题满分12分）四棱锥中,与
- 12 -
都是等边三角形.
(I)证明:
(II)求钝二面角的余弦值.
20．（本题满分12分）已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的差等于1．
（I）求动点的轨迹的方程；
（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．
21．（本小题满分12分）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中e为自然对数的底数）
（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分.
22．【选修4-1：几何证明选讲】如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．
23．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为： （α为参数）．
（I）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
24．【选修4-5：不等式选讲】设函数
- 12 -
（I）解不等式； （Ⅱ）当时，证明：．
2016-2017学年高三8月月考
理科数学答案及说明
一、选择题：每小题5分，满分60分．
1~12 D.B.A.D. B.B.D.C. D.C.B.D.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 14. 15. 16．．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）中，角、、所对应的边分别为、、，若.
(1)求角；
(2)若，求的单调递增区间.
17.解：(1)由，得，
即，由余弦定理，得，……5分
，∴； ……6分
(2)
…………9分
由，得，
故的单调递增区间为，. ………12分
- 12 -
18. （本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.
18.解：（Ⅰ）设总数为，则，所以第四组的频数为，
则，，
… ……4分
（Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
种情况． ………………………………………………………………6分
设事件：随机抽取的2名同学来自同一组，则
.
所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是． …………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，的可能取值为，则
- 12 -
，，．
所以，的分布列为
…………………………………………11分
所以，． ……………………………………12分
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
(1)证明：PB⊥CD；
(2)求二面角APDC的大小．
(1) 证明：取BC的中点E，连接DE，
则ABED为正方形．
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
连接OA，OB，OD，OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，
故OE⊥BD，从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD. ………………6分
(2)法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，
故CD⊥平面PBD.
又PD⊂平面PBD，所以CD⊥PD.
取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，
则FG∥CD，FG⊥PD.
连接AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.
所以∠AFG为二面角APDC的平面角．
连接AG，EG，则EG∥PB.
又PB⊥AE，所以EG⊥AE.
- 12 -
设AB＝2，则AE＝2 ，EG＝PB＝1，
故AG＝ ＝3.
在△AFG中，FG＝CD＝，AF＝，AG＝3，
所以cos ∠AFG＝＝－.
所以二面角APDC的余弦值为- ………………………12分
法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．
以O为坐标原点，OE―→的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设|AB|＝2，则A(－，0,0)，D(0，－，0)，C(2 ，－，0)，P(0,0，)，
PC＝(2 ，－，－)，PD＝(0，－，－)，
AP＝(，0，)，AD＝(，－，0)．
………………………7分
设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则
可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.
取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．………………………9分
设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则
可得m＋q＝0，m－p＝0.
取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．………………………11分
于是cos〈n1，n2〉＝＝－.
所以二面角APDC的余弦值为- ………………………12分
20. （本题满分12分）已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的差等于1．
（I）求动点的轨迹的方程；
（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．
- 12 -
20.解：（I）设动点的坐标为，由题意为
化简得
当、
所以动点P的轨迹C的方程为 ……………………5分
（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．
由，得
设则是上述方程的两个实根，于是
． …………………………6分
因为，所以的斜率为．
设则同理可得 ………………………7分
故 ……………………………11分
当且仅当即时，取最小值16．……………………………12分
21．（本小题满分12分）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中e为自然对数的底数）
1）若在上存在极值，求实数的取值范围；
2）求证：当时，
- 12 -
21.1）， …………………………1分
由题意得，解得。 …………………………2分
所以，由得；
当时，；当时，，所以，为的极大值点，
…………………………3分
所以，所以。 …………………………4分
2）记，则，
记
则，（，所以当时，，
所以当，，所以，。…………………………8分
记，，
当时，，
所以， …………………………11分
所以当时，，即，
所以。 …………………………12分
四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．（本大题10分）
22．【选修4-1：几何证明选讲】如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．
- 12 -
解答： 证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．
因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．
因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，
所以AB∥DE．…（5分）
（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，
又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．
又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．
所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，
因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）
23．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．
（I）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
解答： 解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，
∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，
∴，
∴x﹣y+1=0．…………………………5分
（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．
得
（x﹣2）2+y2=4，
它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，
圆心到直线的距离为：
- 12 -
d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．…………………………10分
24．【选修4-5：不等式选讲】设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|
（I）解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤．
解答： （Ⅰ）解：由已知可得：，
由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．
所以，f（x）≥2的解集为{x|x≥1}；…………………………5分
（II）证明：由（Ⅰ）知，|x+2|﹣|x﹣2|≤4，
由于0＜y＜1，则=（）[y+（1﹣y）]=2++≥2+2=4，
则有．…………………………10分
- 12 -
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