www.ks5u.com
高三年级第二次月考
数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设集合. ,则实数a的取值范围是( )
A． B. C． D．
2．命题：“”，则是（ ）
A． B.
C． D．
3.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．-3 B． C． D．2
5.函数的图象可能是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（2）（4）
C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
6．已知函数是定义在R上的偶函数， 且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是( )
A．[1,2] B． C． D．(0,2]
7．函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．如果对定义在上的函数，对任意，都有则称函数为“函数”.给出下列函数:
①；②；③；④.
其中函数是“函数”的个数为（ ）
A. B. C. D.
11．设函数的导函数为，且，，则下列不等式
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数.若,对存在，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卷中的横线上.）
13．已知，则的值为 .
14.已知，则的值是 .
15.如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高 ．
16． 已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
已知命题，；命题，.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
18． （本小题满分12分）
已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.
19．（本小题满分12分）
如图已知中，，点是边上的动点，动点满足（点按逆时针方向排列）．
（1）若，求的长；
（2）若，求△面积的最大值．
20. （本小题满分12分）
定义：若在上为增函数，则称为“k次比增函数”，其中. 已知其中e为自然对数的底数.
（1）若是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；
（2）当时，求函数在上的最小值.
21． （本小题满分12分）
已知函数。
（1）求函数的单调区间；
（2）若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围。
22．（本小题满分12分）
已知函数，函数在处的切线与直线垂直.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.
高三年级第二次月考
数学试题答案及解析
一、选择题：
1.【答案】C
【解析】,因为或或，故选C.
考点：1.含绝对值不等式的解法；2.集合的运算.
2.【答案】D
【解析】由全称命题的否定为特称命题可知：的否定为，
故选D
考点：全称命题的否定.
3.【答案】A
【解析】∵．∴．故选A．
考点：对数函数与指数函数的性质．
4.【答案】A
【解析】由，得，又由，故，得，故选项为A.
考点：平面向量数量积坐标表示.
5.【答案】C
【解析】取，可知（4）正确；取，可知（3）正确；取，可知（2）正确；无论取何值都无法作出（1）.故选C.
考点：1、函数的图象和性质；2、选择题的“特殊值法”.
6.【答案】C
【解析】因为已知函数是定义在R上的偶函数，所以，所以，又因为函数在区间上单调递增，所以，故选C.
考点：函数的奇偶性与单调性.
7.【答案】D
【解析】,由得或，所以函数的两个极值点为和，所以函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是,故选D.
考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数的图象与性质.
8.【答案】B
【解析】因,故,由于函数在上单调递增；在上单调递减,且,故当时,函数的图象与直线有两个交点,应选B.
考点：三角函数的图象与性质．
9.【答案】B
【解析】由已知得，，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故①不满足；
，故②满足；，③满足；由分段函数的图象，④不满足.
考点：1、函数单调性的定义；2、利用导数判断函数的单调性；3、分段函数.
10．已知，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.【答案】C
【解析】由题意得，函数，令，函数单调递减，即，函数单调递减，由且，解得，故选C.
考点：三角函数的单调性及其应用.
11.【答案】B
【解析】构造辅助函数，则，因为，所以，所以函数为实数集上的单调递减函数，则，因为，，又，所以，所以，故选B.
考点：利用导数研究函数的单调性及其应用.
12.【答案】A
【解析】对存在，存在，使，∴，在上单调递增，∴，在上单调递减，则，∴，则，故选A.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及
全称量词与存在量词的应用.
二、填空题：
13.【答案】3
【解析】因为,所以.
考点：分段函数.
14.【答案】
【解析】若，故答案为.
考点：1、诱导公式的应用；2、“拆角”技巧的应用.
15.【答案】
【解析】由题意可知，所以，在三角形中，由正弦定理得，所以，故应填.
考点：解三角形应用举例.
16.【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，作出函数的图象如图所示：
因为存在实数，，，，满足，且，所以由图象知：，，，，
因此根据二次函数图像得其取值范围是
考点：函数图像与性质
三、解答题：
17.【解析】
设，，则，当时，，故函数在为增函数，，则.……………………………………2分
因为，，故，故若为真，则.………………3分
（1） 若为真，则实数满足故，
即实数的取值范围为.…………………………………………6分
（2）若为真命题，为假命题，则、一真一假，
若真假，则实数满足即；
若假真，则实数满足即.
综上所述，实数的取值范围为.…………………………10分
考点：1、真值表的应用；2、特称命题与全称命题及不等式恒成立问题.
18.【解析】（1）由题意可得：
因为相邻两对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，
所以，因为，所以，函数为.
要使单调减，需满足，即
当时，；当时，
又∵
所以函数的减区间为，.……………………………………6分
（2）由题意可得：，
∵，∴，
∴，即函数的值域为.………………12分
考点：（1）函数的图象变换；（2）函数的性质.
19.【解析】（1）由，得点在射线上， ，
，即……………………………… 5分
（2）设，则，因为的面积等于△与△面积的和，所以，
得：…………………………………………7分
又,所以,即，
所以△的面积
即 …………………………10分
（其中：为锐角），
所以当时，△的面积最大，最大值是…………………………12分
考点：1.解三角形的知识.2.余弦定理.3.向量共线.4.三角函数的最值求法.
20.【解析】（1）由题意知上为增函数，因为在上
恒成立.又，则在上恒成立，
即在上恒成立. 而当时，，所以，
于是实数a的取值范围是.……………………………………………… 5分
（2）当时，，则.
当，即时，；
当，即时，.
则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）.………………………7分
因为，所以，
①当，即时，在[]上单调递减，
所以.………………………………8分
②当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以.……………………………………9分
③当时，在[]上单调递增，所以.………………10分
综上，当时，；
当时，；
当时，. ………………………………12分
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的最值.
21.【解析】（1）求导可得………………………………1分
①时，令可得，由于知；令，得
∴函数在上单调递减，在上单调递增………………………………3分
②时，令可得；令，得或，由于知或
∴函数在上单调递减，在，上单调递增…………………………5分
③时，，函数在上单调递增………………………………6分
④时，令可得；令，得或，由于知或
∴函数在上单调递减，在，上单调递增……………………8分
（2）时，，舍去
时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以函数对定义域内的任意恒成立时，只需要即可
∴…………………………………………………………12分
考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式.
22.【解析】（Ⅰ）∵ ∴
∵切线与直线垂直，∴ ∴………………2分
（Ⅱ）∵
∴………………………………3分
由题知在上有解
∵ ∴设
而，所以要使在上有解，则只需
即 ，所以的取值范围为.………………………………5分
（Ⅲ）∵
令 ， 得
∵是函数的两个极值点 ∴是的两个根
∴，…………………………………………6分
…………8分
令，则
∵ ∴
又，所以， 所以
整理有，解得
∴…………………………………………11分
而 ，所以在单调递减
故的最小值是. …………………………12分
考点：导数几何意义，利用导数研究函数单调性，利用导数求函数最值
微信/支付宝扫码支付