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荷山中学2017届高三年第二次质量检测
数学学文科试题
一、选择题
1.命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．不存在，
2.已知复数满足，则＝( )
A． B． C． D．
3.已知集合,,则=（ ）
A． B． C． D．
4.若数列中，，则取得最大值时的值是（ ）
.13 14 15 14或15
5．已知向量且，则实数＝( )
A．－ B．0 C．3 D.
6. 为平面向量，已知则夹角的余弦值等于( )
A. B．－ C. D．－
7.设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．81 B．54 C．45 D．18
8. 在△ABC中，若, , 则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
9. 设为等比数列的前n项和，已知，则公比＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10． △ABC的内角A、B、C的对边分别为，若成等比数列，且，则( )
A. B. C. D.
11 等比数列的各项均为正数，且，
则（ ）
A B C D
12 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）
二、填空题
13．已知向量若与共线，则＝__________.
14. 数列满足，且，则数列的前10项和为_________。
15. 已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．
16. 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天等于________．
三、 解答题
17．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
18． 在中，角所对的边分别为，
满足.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的值．
19. 已知是递增的等差数列，4是方程的根．
(1)求的通项公式； (2)求数列的前项和．
20. 某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.
（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
21.设.
(1)令，求的单调区间；
(2)已知在处取得极大值.求实数的取值范围.
22. 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，
直线经过定点，倾斜角为.
(1)写出直线的参数方程和曲线的标准方程．
(2)设直线与曲线相交于A，B两点，求的值．
2017届高三年第二次质量检测
数学文科试题答案
一、选择题
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答
案
A
A
D
B
C
C
A
B
B
A
B
A
二、 填空题
13. 1 14. 15. 90° 16. 6
三、解答题
17．解 (1)因为f(x)＝sin2 x＋cos2 x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x
＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知， f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
18．解 (1)△ABC中，由(a－b)(sin A－sin B)＝csin C－asin B，
利用正弦定理可得(a－b)(a－b)＝c2－ab，
即a2＋b2－c2＝ab.
再利用余弦定理可得，cos C＝＝，∴C＝.
(2)由(1)可得即a2＋b2－ab＝7①，
又△ABC的面积为ab·sin C＝，
∴ab＝6②.
①②可得＝.
19.解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，
故d＝，从而a1＝.
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
(2)设的前n项和为Sn，由(1)知＝，则
Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋.
两式相减得
Sn＝＋＋…＋－
＝＋－.
所以Sn＝2－.
20.解: (1)依题意知，数列是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以 ， ＝
＝＝
(2)依题意得，，即，
可化简得，可设，
又，可设是减函数，是增函数，
又
则时不等式成立，即4年
21.解析：(1)由
可得，
则，
当时，
时，，函数单调递增；
当时，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减.
所以当时，函数单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)由(Ⅰ)知，.
①当时，，单调递减.
所以当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以在x=1处取得极小值，不合题意.
②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，
可得当时，，时，，
所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，
所以在x=1处取得极小值，不合题意.
③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，
所以当时，， 单调递减，不合题意.
④当时，即 ，当时，，单调递增,
当时，，单调递减，
所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.
综上可知，实数a的取值范围为.
22. 解析：(1)由曲线C的参数方程(θ为参数)，得普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝16，即x2＋y2－2x－4y＝11＝0.
直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为，直线的参数方程为(t是参数)．
(2)将直线的参数方程代入x2＋y2－2x－4y－11＝0，整理，得t2＋(2＋3)t－3＝0，设方程的两根分别为t1，t2，则t1t2＝－3，
因为直线l与曲线C相交于A，B两点，
所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.
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