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唐山市开滦二中2016年高三年级期中考试
文科数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）
1．设集合，，则集合（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．复数的共轭复数是（ ）A． B． C．﹣i D．i
3．已知抛物线的焦点恰好为双曲线的焦点，则a=( )
A．1 B．4 C．8 D．16
a=2，x=3
开始
x=x+1
输出x
结束
否
是
4.在区间上随机取一个数x，使不等式＞1成立的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ）
A． B． C． D．
6．若向量的夹角为，且，
则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．若cos=-,是第三象限角，则（ ）
A． 2 B． C． -2 D． -
8．已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9.设点是双曲线上的一点，分别为双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
10．将函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点（，0）对称，则函数g（x）=cos（x+φ）在上的最小值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
11．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积是( )
正视图 侧视图 俯视图
A. B. C. D.
12．设定义在上的奇函数，满足对任意都有，且时，，则的值等于（ ）
A B C D
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上.）
13．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为 ．
14．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则= ．
15．在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ．
16.若函数f（x）=在区间（，）上单调递增，则实数a的取值范围是
．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. (本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知=﹣3，cosB=﹣，b=2，求：（1）a和c的值；（2）sin（A﹣B）的值．
18．(本小题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD； （Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S-ABC的体积．
19. （本小题满分12分）某校为了解本校学生在校小卖部的月消费情况，随机抽取了60名学生进行统计．得到如表样本频数分布表：
月消费金额（单位：元）
[0，100）
[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500）
≥500
人数
30
6
9
10
3
2
记月消费金额不低于300元为“高消费”，已知在样本中随机抽取1人，抽到是男生“高消费”的概率为．（Ⅰ）从月消费金额不低于400元的学生中随机抽取2人，求至少有1人月消费金额不低于500元的概率；（Ⅱ）请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关，说明理由．
高消费
非高消费
合计
男生
女生
25
合计
60
下面的临界值表仅供参考：
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
20.（本小题满分12分）已知椭圆:的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点，，记直线， 的斜率分别为，，求证：为定值.
21．（本小题满分12分）已知函数，直线.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；
（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.
请考生在第22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时在答题卡上注明所选题目的题号.
22.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．
已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度；
（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．
23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集．
（Ⅱ）当a＜时，对于∀x∈（﹣∞，﹣]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范围．
开滦二中2016年高三年级期中考试文科数学答案
1-5. B C D D C 6-10. A D A D C 11-12. A C
13. 4 14. 15. 16. )
17解：（1）△ABC中，由=﹣3得ca•cosB=﹣3，
又cosB=﹣，所以ac=7；
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，
又b=2，所以a2+c2=50；
解方程组，
因为a＞c，
所以解得a=7，c=1；……………… 6分
（2）△ABC中，sinB==，
由正弦定理，得sinA=sinB=，
因为cosB＜0，所以A为锐角，
所以cosA==；
所以sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣．……………… 12分
18. （Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF．
因为 P，F分别是棱SC，SD的中点，
所以 FP∥CD，且FP=CD．
又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，
所以 AQ∥CD，且AQ =CD．
所以 FP//AQ且FP=AQ．
所以 AQPF为平行四边形．
所以 PQ//AF．
又因为 平面，
平面，
所以 PQ//平面SAD ． …………………4分
（Ⅱ）证明：连结BD，
因为 △SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，
所以 SE⊥AD．
又 平面SAD⊥平面ABCD，
平面SAD 平面ABCD=AD，
SE平面，
所以 SE⊥平面ABCD，
所以SE⊥AC．
因为 底面ABCD为菱形，
E，Q分别是棱AD，AB的中点，
所以 BD⊥AC，EQ∥BD．
所以 EQ⊥AC，
因为 SEEQ=E，
所以 AC⊥平面SEQ． …………………8分
（Ⅲ）解：因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，
所以==．
因为SA=AD=SD=2，E是AD的中点，所以SE=．
由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，
所以三棱锥S-ABC的体积 =． …………………12分
19. 解：（Ⅰ）样本中，月消费金额在
因为直线与椭圆C有且只有一个公共点，
所以，即. ……………… 8分
由方程组 得，
设，，则，， ………… 9分
所以
，
将代入上式，
得.
综上，为定值. ……………… 12分
21. （Ⅰ）解：函数定义域为，
求导，得，
令，解得．
当变化时，与的变化情况如下表所示：
0
↗
↘
↗
所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，
所以函数有极小值，无极大值． …………… 3分
（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，
设切点为，又因为，
所以切线满足斜率，且过点，
所以，
即，此方程显然无解，
所以假设不成立．
所以对于任意，直线都不是曲线的切线. …………… 7分
（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的解的个数”.
由方程，得. ……………… 8分
令，则，其中，且.
考察函数，其中，
因为时，
所以函数在单调递增，且.
而方程中， ，且.
所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，
故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点. ……………… 12分
22. 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C的普通方程为．
当θ=时，直线AB的方程为，y=x﹣1，
代入，可得3x2﹣4x=0，∴x=0或x=
∴|AB|=•=；……………… 5分
（Ⅱ）直线参数方程代入，得（cos2θ+2sin2θ）t2+2tcosθ﹣1=0．
设A，B对应的参数为t1，t2，∴|PA|•|PB|=﹣t1t2==∈．………………10分
23解：（1））令|2x+1|=0，解得x=﹣，令|x﹣2|=0，解得x=2．
当x≥2时，原不等式化为：2x+1+x﹣2＜4，解得x，此时无解；
当＜x＜2时，原不等式化为：2x+1+2﹣x＜4，解得x＜1，可得＜x＜1；
当时，原不等式化为：﹣2x﹣1+2﹣x＜4，解得x＞﹣1，可得﹣1＜x≤．
综上可得：原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．……………… 5分
（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a，
可得g（x）=，对于∀x∈，
使得f（x）+x≥3恒成立．只需min≥3，x∈，
作出g（x）的图象，可得：min=g（a）=﹣a﹣1，
∴﹣a﹣1≥3，可得a≤﹣4．
……………… 10分
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