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开滦二中2016～2017学年度第一学期高三年级期中考试卷
理科数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若是虚数单位）,则（ ）
A． B． C． D．
3．等比数列的前成等差数列，若=1，则为（ ）
A．15 B．8 C．7 D．16
4．分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，若圆与双曲线有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．设,则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则的图象大致为（ ）
9．如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为（ ）
A．的值
B．的值
C．的值 D．的值
11．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点 的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为（ ）
A． B． C． D．
C
x
O
D
A
B
y
12．函数的部分图像如图所示，若 ，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．设，若函数的最小值为1，则 .
14．设为坐标原点，，若点满足，则的最大值是 ．
15．将三项式展开，当时，得到以下等式：
……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如上右图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数.若在的展开式中，项的系数为75，则实数a的值为 .
16．已知数列满足：（），若，则 .
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。）
17、（本题满分12分）在中，内角所对边长分别是，已知，.
（1）若的面积等于，求；
（2）求a＋b的最大值.
P
A
B
C
D
E
18、（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，是的中点
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
19、（本题满分12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；
年龄（岁）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
20．（本小题12分）椭圆（）的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
21. （本小题12分）函数
（1）若函数，求函数的极值；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答（本小题10分）
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.
23、已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的范围．
2016年10月高三期中考试数学（理 ）参考答案
1．D 2．B 3．A 4．A 5．A 6．D 7．B 8．A 9．D 10．C
11．A 12．A 13． 14． 15．2 16．
17．解：（1）∵，由余弦定理，得：，-----------2分
根据三角形的面积，可得：， -----------4分
联立方程组，解得：. -----6分
（2）由题意， -----------8分
则
-----------12分
18．（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，， -----------2分
，， ，
又，平面， -------- ---4分
∵平面EAC，平面平面 --------------------5分
P
A
B
C
D
E
x
y
z
（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， --------------7分
则C（0，0，0），（1，1，0），（1，－1，0）
设（0，0，）（），则（，，），
，，，
取=（1，－1，0）为面的法向量
设为面的法向量，则
即，取，，，则，
依题意，，则 于是 --10分
设直线与平面所成角为，则，----------- 12分
19．解：（Ⅰ）各组的频率分别为
所以图中各组的纵坐标分别是
-----------3分
（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35） 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率事件由两个互斥事件构成
-----------7分
（Ⅲ）的所有可能取值为：0,1,2,3
所以的分布列是：
-----------------10分
所以的数学期望． -----------------------------12分
20．解：（1）已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，
又内切圆面积取最大值时，点为短轴端点，半径为，因此，，解得，则椭圆的方程为． -----------4分
（2）设直线的方程为，，，联立可得
，则，， -----------6分
直线的方程为，直线的方程为，
则，， -----------8分
假设为直径的圆是恒过定点，
则，，
， -----------10分
即，
，即，
若为直径的圆是恒过定点，即不论为何值时，恒成立，
因此，，或，即恒过定点和．-----------------12分
21．解：（1），定义域
由得, 由得,
在递增,在递减,没有极小值．--------4分
（2）由在恒成立，
整理得在恒成立, -----------5分
设, 则,
当时,,且,
当时,,设
在递增,又使得 时,,时,,
时,,时,．
函数在递增,递减,递增, -----------9分
又
，时，, -----------11分
,即的取值范围是 -----------12分
22．解：（1）由，得
∴,即 -----------4分
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程.得，即
由于,可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点,故由上式及t的几何意义得 -----------10分
23．解：（1）解集为 -----------4分
（2）的解集包含即不等式在内恒成立，即在内恒成立， 即在内恒成立，得，则 . -----------10分
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