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辽师大附中2017届高三期中考试
数学（文）试题
一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．已知集合，,则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（ ）
A． B． C． D．
3 设，则“”是“”的（ ）
(A)充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件
4．在中，设，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5. 已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．2 D．11
6.设f(x)为定义在R上的奇函数,且是周期为4的周期函数,f(1)=1,
则f(-1)+f(8)等于( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
7. 已知中, 内角、、所对的边分别为、、,若,则的周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积是( )
正视图 侧视图 俯视图
A. B. C. D.
9.设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．81 B．54 C．45 D．18
10已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ）
（A） （B）1 （C） （D）
11. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有( )．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12如图，已知双曲线的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若,则双曲线C的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数的图像在点处的切线方程是 .
14已知等差数列的前项和为，若，则的值为
15．已知，，则的最小值为 .
16．已知椭圆的离心率，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的一点，直线斜倾角分别为，则的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17已知函数的一个零点是．(I)求函数的最小正周期；
(II)令，求此时的最大值和最小值．（ 12 分）
第18题图
18如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，
平面，且,.
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求凸多面体的体积. （ 12 分）
19已知数列{}的前 n 项和 Sn 满足（p 为大于 0 的常数），且 a1 是 6a3 与 a2的等差中项。 （I）求数列{an}的通项公式；
（II）若 an·bn=2n+1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. （ 12 分）
20．已知抛物线，过点（其中）作互相垂直的两直线，直线与抛物线相切于点（在第一象限内），直线与抛物线相交于两点．
（Ⅰ）当时，求直线的方程；
（Ⅱ）求证：直线恒过定点．（ 12 分）
21.设函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；
（2）若对任何恒成立，求的取值范围．（ 12 分）
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.
（1）试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值. （ 10 分）
23．选修4-5：不等式选讲
已知和是任意非零实数.（1）求的最小值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. （ 10分）
2016-2017学年度上学期高三年级期中考试
数学试题（文科）答案
一、选择题 CAACBB DAAACB
二、填空题13. 14.28 15.3 16.1
三、解答题
17．解：（Ⅰ）
， ………………………………2分
由已知，即
，解得． ………………4分
所以
． ………6分
所以函数的最小正周期． ……7分
（Ⅱ），，……………………………8分
所以在上是增函数， ………………………10分
当时，；
当时，．………………………………12分
18解：（1）证明：
又在正方形中，
,
又在正方形中，
平面.………………………………6分
(2)法一：
连接，设到平面的距离为，
，又，
又，
又
所以………………………………12分
（19）
解：（I）当n=1时，，得．
当n≥2时，，
，
两式相减得an=pan﹣1，即．
故{an}是首项为，公比为p的等比数列，
∴．
由题意可得：2a1=6a3+a2，，
化为6p2+p﹣2=0．
解得p=或（舍去）．
∴=． --------------------------------------------(6分)
（II）由（I）得，
则，
+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，
两式相减得﹣Tn=3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1
=
=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1，
∴． --------------------------------------------（12分）
20
【解析】（Ⅰ）当时，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为,
与抛物线方程联立可得：，……………………2分
由于直线l1与抛物线C相切，所以，
求得：或，根据点在第一象限内，所以，
从而直线的方程为……………………5分
（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1直线的方程为,
与抛物线方程联立可得：，
由于直线l1与抛物线C相切，所以，解得：……………8分
故Q点坐标为Q，所以直线l1的斜率为……………10分
又l1⊥l2，故设l2的方程为：，即，
所以直线l2恒过定点(0，1) ……………12分
21.解：（1）由条件得，
∵曲线在点处的切线与直线垂直，∴此切线的斜率为0，即
，有，得，
∴，由得，由得．
∴在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值．
故的单调递减区间为，极小值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）条件等价于对任意恒成立，
设．
则在上单调递减，
则在上恒成立，
得恒成立，
∴（对仅在时成立），
故的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号
（22）解(Ⅰ) 由题意知，直线的直角坐标方程为：2x-y-6=0，
∴曲线的参数方程为：.5分
(Ⅱ) 设点P的坐标，则点P到直线的距离为：
，
∴当时，点，此时.10分
(23)解：（I）对于任意非零实数a和b恒成立，
当且仅当时取等号， 的最小值等于4．5分
（II）恒成立，
故不大于的最小值
由（I）可知的最小值等于4．
实数x的取值范围即为不等式的解．
解不等式得 10分
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