银川一中2017届高三年级第四次月考
数 学 试 卷（文）
命题人：张金荣
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合，集合，则
A． B． C． D．
2．已知命题对于恒有成立；命题奇函数的图像必过原点，则下列结论正确的是
A．为真 B．为真 C．为假 D．为真
3．若a>b>0, c0),若点Q(m,n)在直线y=2x+上, 则(a-m)2+(b-n)2的最小值为
A．9 B． C． D．3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设x, y满足，则z=x+2y的最大值为_________.
14．在中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，…，依此类推，在凸n边形中，不等式________成立．
15．设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5, 则的最小值为____________.
16．已知函数f(x)=.若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点，则实数a
的取值范围为_______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知向量，，f(x)=.
（1）求f(x)的最大值和对称轴；
（2）讨论f(x)在上的单调性.
18．（本小题满分12分）
A
D
l1
l2
B
C
x
y
1
120o
如图，某水域的两直线型岸边l1，l2 成定角120o，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB＝x公里，AC＝y公里．
（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；
（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？
19．（本小题满分12分）
已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn= an+ bn，求数列{cn}的前n项和.
20．（本小题满分12分）
如图，在平面四边形中，,
（1）求的值；
（2）求的长.
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，讨论的单调性.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。
22. （本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ = α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知|x1﹣2|＜1，|x2﹣2|＜1．
（1）求证：2＜x1+x2＜6，|x1﹣x2|＜2;
（2）若f（x）=x2﹣x+1，求证：|x1﹣x2|＜| f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|.
银川一中2017届高三第四次月考数学(文科)参考答案
一．选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
B
D
C
A
C
B
C
A
D
C
二．填空题
13．7 14. 15. 16.(1,2)
三．解答题
17. 解：（1）f(x)=sinxcosx-cos2x=
cosxsinx-(1+cos2x)=，
所以最大值为， 由2x-=k+,k∈Z, 所以对称轴 x=, k∈Z
（2）当x∈时， 从而当， 时，f(x)单调递增
当,f(x)单调递减
综上可知f(x)在上单调递增，在上单调减。
18解：(1)由SΔABD＋SΔACD＝SΔABC
得xsin60º＋ysin60º＝xysin120º
所以x+y=xy，所以y＝
又0＜y≤5，0＜x≤5，所以≤x≤5
所以定义域为{x|≤x≤5}
(2)设△ABC的面积为S，则结合（1）易得
方法一：S＝xysinA＝x··sin120º＝，(≤x≤5)
＝＝(x－1)＋＋2≥4，
当仅当x－1＝，x＝2时取等号.
故当x=y=2时，面积S取最小值（平方公里）
方法二：S＝SΔABD＋SΔACD＝xsin60º＋ysin60º＝(x＋)
＝(x＋)＝(x＋＋1)
＝[(x－1)＋＋2]≥
当且仅当x－1＝，即x＝2时取等号．
故当x=y=2时，面积S取最小值（平方公里）
答：该渔民总共至少可以围出平方公里的养殖区．
19．解：（I）等比数列的公比，
所以，．
设等差数列的公差为．
因为，，
所以，即．
所以（，，，）．
（II）由（I）知，，．
因此．
从而数列的前项和
．
20．如图，设
(1)在中，由余弦定理，得
于是由题设知，
解得(舍去)
在中，由正弦定理，得
于是，
(2)由题设知，，于是由（1）知，
而,所以
在中，，所以
21.【解】（Ⅰ）当时，，定义域为，
的导函数．分
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数．
∴当时，取得极小值为，无极大值．
（Ⅱ）当时，的定义域为，的导函数为．
由得，，．
（1）当时，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数；
（2）当时，在上是减函数；
（3）当时，在上是减函数，在上是增函数，
在上是减函数．
综上所述，
当时，在上是减函数，在上是增函数；
当时，在上是减函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数．
22. 解：（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是.
圆的普通方程分别是，
所以圆的极坐标方程分别是. ··············5分
（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为和
所以，，
从而.
同理，.
所以，
故当时，的值最大，该最大值是. ···············…10分
23．证明：（I）∵|x1﹣2|＜1，∴﹣1＜x1﹣1＜1，即1＜x1＜3，…（2分）
同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6， …（4分）
∵|x1﹣x2|=|（x1﹣2）﹣（x2﹣2）|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|，
∴|x1﹣x2|＜2； …（5分）
（II）|f（x1）﹣f（x2）|=|x12-x22﹣x1+x2|=|x1﹣x2||x1+x2﹣1|，…（8分）
∵2＜x1+x2＜6，
∴1＜x1+x2﹣1＜5，
∴|x1﹣x2|＜|f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|…（10分）
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