银川一中2017届高三年级第四次月考
数 学 试 卷（理）
命题人：张德萍
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A
B
U
1．设全集U=R，则右图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C. D．
2．若复数是纯虚数,则实数的值为
A． B． C． D．或
3．已知直线l ⊥平面，直线m⊂平面，则“∥”是“l ⊥m”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，
则
A．0 B．-2 C．2 D．
5．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为
A．15 B． C．30 D．15
6．设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为
A． B． C． D．
7．已知向量，满足｜｜＝1，⊥，则－2在方向上的投影为
A．1 B． C．－1 D．
8．如图所示为函数的
部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，
那么
A．1 B． C． D．-1
9．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是
A． B． C. D.
10．已知各项均为正数的等比数列满足,
若存在两项使得的最小值为
A． B． C. D．9
11．已知，平面，若，则四面体的外接球（顶点都在球面上）的表面积为
A． B． C． D．
12. 设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，的导函数，
当时，；当且时，，
则方程在上的根的个数为
A．2 B．4 C．5 D．8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知函数，则 .
14．在中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，…，依此类推，在凸n边形中，不等式__ ___成立．
15．已知函数对任意的恒成立，
则 .
16．已知，数列｛｝的前n项和为Sn,数列{bn}的通项公式为=n-8,则的最小值为_____.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
设数列满足，且．
（1）求数列an的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
C
B
A
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，.
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
19．（本小题满分12分）
已知．
（1）曲线y=f（x）在x=0处的切线恰与直线垂直，求的值；
（2）若a=2，x∈[a，2a]，求f（x）的最大值.
20．（本小题满分12分）
若的图象关于直线对称，其中
（1）求的解析式；
（2）将的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象；若函数的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值.
21．（本小题满分12分）
设函数
（1）研究函数的极值点；
（2）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；
（3）证明：
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。
22. （本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ = α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知|x1﹣2|＜1，|x2﹣2|＜1．
（1）求证：2＜x1+x2＜6，|x1﹣x2|＜2;
（2）若f（x）=x2﹣x+1，求证：|x1﹣x2|＜| f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|.
银川一中2017届高三第四次月考数学(理科)参考答案
一．选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
A
C
D
B
A
D
C
A
D
B
二、填空题：
13. 14、 15. 16、-4
三、解答题：
17、解：（1）,，
所以数列为等比数列；……………………………………………………3分
所以数列an的通项公式为：…………5分
（2）由（1）知，， ……………………6分
设 ……………………8分
……………………10分
……………………12分
18．解：（1）∵，∴∴，………………2分
∴…………4分
根据正弦定理得………………6分
（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则根据余弦定理
………………8分
∴∵即………………10分
∴时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。………………12分
法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，设BD＝20k，…C
B
A
D
M
N
………2分
则DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，…………4分
知：AB＝52k＝1040m．…………6分
（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，
如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，…………8分
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，……10分
其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．……12分
19、（1）解：由，得：，…………2分C
B
A
D
M
N
则，…………3分
所以 得。…………4分
（2）a=2, (6分)
(7分)
f(x)在上单调递增，在上单调递减 (8分)
又2ln20时，令的变化情况如下表：
x
(0，)
+
0
－
↗
极大值
↘
从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 ………………4分
（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，…6分
此极大值也是最大值，要使f(x)0恒成立，只需，…8分
∴，即p的取值范围为[1，+∞ …………………10分
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴，∴ …………11分
∴ …10分
,∴结论成立 …………………12分
22、解：（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是.…………1分
圆的普通方程分别是，………3分
所以圆的极坐标方程分别是. ··············5分
（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为和
所以，，………6分
从而.………7分
同理，.………28分
所以，………9分
故当时，的值最大，该最大值是. ···············…10分
23．证明：（I）∵|x1﹣2|＜1，∴﹣1＜x1﹣1＜1，即1＜x1＜3，…（2分）
同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6， …（4分）
∵|x1﹣x2|=|（x1﹣2）﹣（x2﹣2）|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|，
∴|x1﹣x2|＜2； …（5分）
（II）|f（x1）﹣f（x2）|=|x12-x22﹣x1+x2|=|x1﹣x2||x1+x2﹣1|，…（8分）
∵2＜x1+x2＜6，
∴1＜x1+x2﹣1＜5，
∴|x1﹣x2|＜|f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|…（10分）
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