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高三摸底考试文科数学试题
2016年12月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.
1．设集合( )
A. B. C. D.
2．已知复数z满足( )
A. B. C. D.
3．已知平面向量，，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
4．下列命题中，真命题是( )
A. B.
C. 若，则 D. 是的充分不必要条件
5．已知实数满足，则的最大值是( )
A． B．9 C．2 D．11
6．将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )
A. B. C. D.
7．执行如图所示的程序框图，输出的i为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8．已知函数，则函数
的零点所
在的区间是( )
A. B. C. D.
9．若函数的大致图像如右图，
其中为常数，则函数的大致图
象是( )
A B C D
10．设函数的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分.
11．设函数，若，则实数的值为______
12. 设为第二象限角，若，则______
13．已知等比数列{an}的前6项和S6＝21，且4a1、a2、a2成等差数列， 则an =______
14．已知球的直径，在球面上，，， 则棱锥 的体积为______
15．已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则m的取值范围为______
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16．（本小题满分12分）
已知向量，函数．
（1）若，求的值；
（2）若，求函数的值域．
17．（本小题满分12分）
为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．年龄
频率/组距
20
25
30
35
40
45
0．01
0．02
0．03
0．04
0．05
0．06
0．07
O
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取
6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组
各抽取多少名志愿者？
（2）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中
随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有
一名志愿者被抽中的概率．
18．（本小题满分12分）
已知是定义在R上的奇函数，当x≤0时，
（1） 当x＞0时，求的解析式；
（2）若时，方程有实数根，求实数m的取值范围．
S
A
B
C
D
E
F
19．（本小题满分12分）
在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面SAD
为边长为2的正三角形，且面SAD⊥面ABCD，AB=，E、
F分别为AD、SC的中点；
（1）求证：BD⊥SC；
（2）求四面体EFCB的体积.
20．（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
21．（本小题满分14分）
设函数，为正实数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：；
（3）若函数有且只有个零点，求的值．
高三数学文科考试试题
参考答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
C
D
B
B
C
B
B
D
二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分
11. 12. 13. 14.
15.
三.解答题
16．解：
（1）∵向量，
∴，
∴，
则，；
（2）由，则，
∴，
则．则的值域为．
17．解：
（1）第3组的人数为0.3×100=30,
第4组的人数为0.2×100=20,
第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:
第3组:×6=3； 第4组:×6=2； 第5组:×6=1；
即应从第3,4,5组中分别抽取3人, 2人,1人.
（2）记第3组的3名志愿者为,, ,第4组的2名志愿者为,,第5组的1名志愿者为.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
( ,), (,),( ,),( ,),( ,),
( ,),( ),( ,), ( ,),
( ,), ,), (,),
( ,),( ,),( ,),共有15种.
其中第4组的2名志愿者,至少有一名志愿者被抽中的有:
( ,),( ,),( ),( ,), ( ,), (,),( ,),
( ,),( ,),共有9种,
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
18．解：
(1) 当x≤0时，，
当x＞0时，则－x＜0时，，
由于奇函数，则，
故当x＞0时，．
(2) 当时， ．
当时，，，由，得，
当时，，当时，，则在上单调递减；在 上单调递增．则在处取得极小值，
又，，故当时，．
综上，当时，，
所以实数m的取值范围是．
19．解：
（1）证明：连接BD，设BD∩CE=O 易证：△CDE∽△BCD ∴∠DBC=∠ECD
∵∠DBC+∠BDC=90° ∴∠ECD +∠BDC=90∴∠COD=90°∴BD⊥CE
∵△SAD为正三角形，E为AD中点∴SE⊥AD
又∵面SAD⊥面ABCD，且面SAD∩面ABCD=AD
∴SE⊥面ABCD ∵BDÌ面ABCD ∴SE⊥BD
∵BD⊥CE，SE⊥BD，CE∩SE=E，∴BD⊥面SEC SCÌ面SEC ∴BD⊥SC
（2）∵F为SC中点 ∴VF-EBD=VS-EBC
连接SE，面SAD⊥面ABCD∵△SAD为正三角形∴SE⊥AD又∵面SAD⊥面ABCD
∴SE⊥面ABCD SE=
S△EBC=×2×=
∴VF-EBD=VS-EBD=×××=
20．解：
(1)由，
当时，，
当，，
则，当n=1时，满足上式，所以．
(2) 由(Ⅰ)，．
则，
所以，
则．
所以．
21．解：
（1）当时，，则， 所以，又，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）因为，设函数，则，
令，得，列表如下：
极大值
所以的极大值为．所以．
（3），，
令，得，因为，
所以在上单调增，在上单调减．
所以．
设，因为函数只有1个零点，而，
所以是函数的唯一零点．
当时，，有且只有个零点，
此时，解得．
下证，当时，的零点不唯一．
若，则，此时，即，则．
由（2）知，，又函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，
所以在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意；
若，则，此时，即，则．
同理可得，在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意．
因此，所以的值为．
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