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高三摸底考试理科数学试题
2016年12月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.
1．已知R是实数集，，则( )
A.（1，2） B. [0，2] C. D. [1，2]
2．设为虚数单位，复数，则的共轭复数=( )
A. B. C. D.
3．已知平面向量，，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
4．下列命题中，真命题是( )
A. B.
C. 若，则 D. 是的充分不必要条件
5．已知实数满足，则的最大值是( )
A． B．9 C．2 D．11
6．将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )
A. B. C. D.
7．函数的定义域和值域都是，则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．已知函数，则函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
9．若的展开式中含有常数项，则的最小值等于( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10．已知函数，设，且，若、、成等差数列，则( )
A． B． C． D．的符号不确定
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分.
11．已知是定义在上的奇函数,且当时, ,则的值为______
12. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则的最小值是______
13．已知等比数列{an}的前6项和S6＝21，且4a1、a2、a2成等差数列， 则an =______
14．已知球的直径，在球面上，， ，则棱锥 的体积为______
15．若定义在R上的偶函数且当时，如果函数恰有8个零点，则实数a的值为______
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16．（本小题满分12分）
已知向量，函数．
（1）若，求的值；
（2）若，求函数的值域．
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
已知是定义在R上的奇函数，当x≤0时，
（1） 当x＞0时，求的解析式；
（2）若时，方程有实数根，求实数m的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直， ，
，G是线段上一点，.
（1）当时，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）是否存在点G满足平面？并说明理由
20．（本小题满分13分）
已知数列的首项，且 ．
（1）求证：数列为等比数列；并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
21．（本小题满分14分）
设f（x）＝（xlnx＋ax＋－a－1），a≥－2．
（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；
（2）讨论f（x）在区间（，＋∞）上的极值点个数；
（3）是否存在a，使得f（x）在区间（，＋∞）上与x轴相切?若存在，求出所有a的值．若不存在，说明理由．
高三摸底考试理科数学试题
参考答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
C
D
B
B
C
B
C
C
二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分
11. 12. 2 13. 14.
15.
三.解答题
16．解：
（1）∵向量，
∴，
∴，
则，；
（2）由，则，
∴，
则．则的值域为．
17．解：
(1)由，
当时，，
当，，
则，当n=1时，满足上式，所以．
(2) 由(Ⅰ)，．
则，
所以，
则．
所以．
18．解：
(1) 当x≤0时，，
当x＞0时，则－x＜0时，，
由于奇函数，则，
故当x＞0时，．
(2) 当时， ．
当时，，，由，得，
当时，，当时，，则在上单调递减；在 上单调递增．则在处取得极小值，
又，，故当时，．
综上，当时，，
所以实数m的取值范围是．
19．解：
（1）取中点，连接，又，所以.
因为，所以,四边形是平行四边形，
所以因为平面，平面
所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面=，
且，所以平面，所以，
因为，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系.
则，
是平面的一个法向量.
设平面的法向量，则
，即
令，则，所以,
所以，
故二面角的正弦值为。
（3）因为，所以与不垂直,
所以不存在点满足平面.
20．解：
（1）由，得，故构成首项为，
公比的等比数列． 所以，即．
（2）．
所以， ①，
②，
②-①，得：
．
21．解：
（1）当时：，（）
故
当时：，当时：，当时：．
故的减区间为：，增区间为
（2）
令，故,,
显然，又当时：．当时：．
故，，．
故在区间上单调递增，
注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定．
①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点．
②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．
综上：当或时：在上无极值点．
当时：在上有唯一极值点．
（3）假设存在，使在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处
由（2）可知：．不妨设极值点为，则有：
…（*）同时成立．
联立得：，即代入（*）可得．
令，．……9分
则，，当 时
（2）．
故在上单调递减．又， ．
故在上存在唯一零点．
即当时，单调递增．当时，单调递减．
因为，．
故在上无零点，在上有唯一零点．
由观察易得，故，即：．
综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切．
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