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六校联盟高三年级联考试卷
文科数学试题
时量：120分钟 分值：150分
命题人：周流金（醴陵一中）张先祥（浏阳一中）彭小飞（株洲二中）
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是 （ ）
A．1 B． C． D．
2．已知集合，，则( )
A． B. C. D.
3．已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）
A．4 B．1 C． D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数的零点的个数为（ ）
A．0 B. 1 C． 2 D． 3
6．已知等比数列为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2) ＝
5an＋1，则数列的公比q＝（ ）
A．2或 B. 2 C． D．-2
7．若,则,则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，
其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
正视图
侧视图
4
11．已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校为了解全校高中同学十一小长假参加实践活动的情况，抽查了200名同学，统计他们假期参加活动的时间, 绘成的频率分布直方图如图所示， 则这200名同学中参加活动的时间在小时内的人数为 .
14.若实数满足不等式组，目标函数的最大值为16，则
实数 ．
15． 已知数列中，，，，，则 ．
16．若，且对任意的，
恒成立，则实数的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
设向量，
（1）设函数，求的单调递增区间；
（2）在△ABC中，锐角A满足， ，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
数列的前项和为，，等差数列满足.
（1）分别求数列，的通项公式；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.（本小题满分12分）
四棱锥中，底面为菱形，且，平面平面，为上一点，且
（1）求证：为线段的中点；
（2）若求二面角的余弦值。
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为,点是椭圆的左、右焦点, 过的直线与椭圆交于两点, 且 的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动点在椭圆上，动点在直线上，若，探究原点到直线的距离是否为定值，并说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若时，关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时请写清题号)
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆C的参数方程为（为参数），再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位.
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）设圆C与直线交于不同的两点，求的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）当a＝3时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求实数的取值范围．
六校联盟高三年级联考试卷
文科数学答案与评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
A
C
B
C
D
B
C
D
A
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 116 14. 5 15． 16．
【15．解析】由，得，整理得，，，，
依次类推， ，又，则。
【16．解析】易知在上均为增函数，不妨设，则
等价于即
令，则在为减函数，
则在上恒成立，
恒成立. 令，
，为减函数，
在的最大值为
综上，实数的取值范围为.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
解：（1）┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
由得增区间为：；┄┄6分
（2）由，得； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
又因为，由余弦定理得：；┄┄┄10分
所以┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由 ① ， 得时 ②
①－②得 ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
又 ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
为等比数列，通项公式为：；┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
依题意，设等差数列的公差为，则，
∴.┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（2），则对任意的恒成立，即
对任意的恒成立，┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
令，┄┄┄┄9分
当时，，时，
∴ ,则实数的取值范围.┄┄┄┄┄┄12分
19.（本小题满分12分）
解:（1）取AD的中点H，连接PH，MH，AC
PA=PD PHAD
又平面平面，交线为AD
PH面ABCD PHBD
又 ，
BD面PHM BDHM┄┄┄┄┄┄┄4分
又在菱形ABCD中， BDAC
HM∥AC M为线段的中点。┄┄┄┄6分
（2）取BM的中点E，连接PE，HE，
可证得PEH为二面角的平面角┄┄8分
设AB=，则PH= ， HE=
PE=
则二面角的余弦值为。┄┄┄┄┄12分
20.（本小题满分12分）
解：（1）由题意得，解得，┄┄┄┄┄┄┄┄3分
所以椭圆E的标准方程为.┄┄┄┄┄┄┄4分
（2）①若直线的斜率不存在，
，， ， ┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分
②若直线的斜率存在
设直线方程为：，代入得，┄┄ 7分
直线的方程为代入得┄┄┄┄┄┄┄ 8分
设原点到直线的距离为
，则┄┄┄┄┄┄┄ 11分
综上所述，原点到直线MN的距离为定值 ┄┄┄┄┄┄┄ 12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）f′（x）=﹣2x+a==，x＞0，
①当a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，由f′（x）＜0，得x＞a，
∴f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）上递减；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜﹣，由f′（x）＜0，得x＞﹣，
∴f（x）在（0，﹣）上递增，在（﹣，+∞）；上递减。
┄┄┄┄┄ 5分
（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，x＞0，
则h′（x）=﹣2mx+1﹣2m==
当m≤0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵h（1）=ln1﹣m×12+（1﹣2m）+1=﹣3m+2＞0，
∴关于x的不等式f（x）≤g（x）不恒成立，舍去。┄┄┄┄┄ 7分
当m＞0时，由h′（x）＞0，得0＜x＜，由f′（x）＜0，得x＞，
∴h（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；
∴h（x）max=h（）=ln﹣m•（）2+（1﹣2m）×+1=﹣ln（2m），
┄┄┄┄┄ 9分
令φ（m）=﹣ln（2m），∵φ（）=，φ（1）=﹣ln2＜0，
又φ（x）在（0，+∞）是减函数，∴当m≥1时，φ（m）＜0，满足题意。
故整数m的最小值为1． ┄┄┄┄┄ 12分
选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号)
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程为┄┄┄┄┄┄┄2分
由极坐标与直角坐标互化公式得，
化简得；┄┄┄┄┄┄┄ 5分
（2）直线的参数方程为（为参数），即（为参数），代入圆方程得：，┄┄┄┄┄┄┄ 7分
设对应的参数分别为，则┄┄┄┄┄┄┄ 8分
所以┄┄┄┄┄┄┄ 10分
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当a＝3时，⇔
由绝对值的几何意义得或
故不等式解集为或．┄┄┄┄┄┄ 5分
（2）原命题⇔在上恒成立 ┄┄┄┄┄┄ 6分
⇔在上恒成立
⇔x-2≤a≤x+2在上恒成立 ┄┄┄┄┄┄ 8分
⇔0≤a≤3. 故a的取值范围是．┄┄┄┄┄┄ 10分
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