六校联盟高三年级联考试卷
数学（理科）试题
时量：120分钟 分值：150分
命题人：张志军（株洲市二中） 黄杏芳（浏阳市一中）唐志军（衡阳市八中）
第I卷
一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，则集合= （ ）
A. B. C. D.
2．若复数是虚数单位，）是纯虚数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则满足的的值是 （ ）
A． B．8 C． 或8 D．8或6
4．设等差数列的公差，，若是的等比中项，则k=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
5．过点，且和直线相切的动圆圆心轨迹方程是 （ ）
A． B． C． D．
6．若，则的值是 （ ）
A．-2 B．-3 C．125 D．-131
7．已知函数，若，且，则
的最小值为 （ ）
A． B. C. D．
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 （ ）
A． B．32 C． D．
10．如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，则关于的最值说法正确的是 （ ）
A
A．最小值和最大值分别为
B．最小值和最大值分别为
C．最大值为，无最小值
D．最小值为，无最大值
11．双曲线的右焦点为，为其左支上一点，线段与双曲线的一条渐近线相交于，且，（为坐标原点），则双曲线的离心率为 （ ）
A． B．2 C． D．
12．设点和点分别是函数和图象上的点，且x1≥0, x2>0．若直线轴，则两点间的距离的最小值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷
图3
二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是__________.
14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中
有如下结论：
①AB⊥EF；
②MN∥CD；
③EF与MN所成的角为45°；
④AB与MN是异面直线.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
15．若满足条件
的实数的取值范围为，则 ．
16．我们知道=，下面用极限的知识来解释它的意义。
因为，而，，，…，，…是以为首项，以为公比的无穷等比数列，它的前项和为
。于是可以把看作当时的极限，
，所以，按此推算，均为互质的正整数，则m+n= 。
三 解答题（本大题共7小题共70分，其中第22，23题为选做题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
必做题：
17．（本小题12分）
在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是且。
（1）求角B的大小；
（2）若求△ABC面积的最大值．
18．（本小题12分）
根据微信同程旅游的调查统计显示，参与网上购票的1000位购票者的年龄（单位：岁）情况如图所示.
（1）已知中间三个年龄段的网上购票人数成等差数列，求的值；
（2）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：
年龄在岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和的分布列与期望值。
19．（本小题12分）
如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.
（1）求证：；
（2）求几何体的体积；
（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20．（本小题12分）
已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为、，且与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为。
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线，与椭圆相交于、，与圆O：相交于两点，当的面积最大时，求弦的长。
21．（本小题12分）
已知函数，
（1）若函数的图象在原点处的切线与函数的图象相切，求实数k的值；
(2) 若对于，总存在，且满足，其中e为自然对数的底数，求实数的取值范围．
选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）
22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线与曲线的极坐标的方程；
（2）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于两点，弦MN的中点为，求 的值．
23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）当时求不等式的解集；
（Ⅱ）若图象与x轴围成的三角形面积大于4，求a的取值范围．
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