湖南师大附中 2016－2017 学年度高一第一学期
第三次阶段性检测
数 学
命题：高一数学备课组
时量：120 分钟 满分：150 分
得分：____________
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题所给的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
1．已知 R 是实数集，A＝{y|y＝2x－1 ，x∈R}，B＝{x|y＝log2（1－x2）}，则 A∩B＝
A．(－1 ，＋∞) B．(－1 ，1) C．[－1 ，1) D．(1 ，＋∞)
2．在空间，下列命题正确的是
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．平行于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一直线的两条直线平行
3．若一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方形，则下列图形一定不是该几何
体的俯视图的是
4．以下命题中为真命题的个数是
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则直线 l∥α；
②若直线 a 在平面α外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，b
⊂
α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b
⊂
α，则 a 平行于平面α内的无数条直线.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．已知函数 f(x)＝
－2x，（－1≤x≤0），
x，（00，
0，x＝0，
－1，x0，
方程 f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0，1)，则方程的根的个
数是
A．2 B．3
C．4 D．5
12．已知函数 f(x)＝x2－2x＋loga
a
x－1
在 1，3
2 内恒小于零，则实数 a 的取值范围是
A.
1
16
，1 B. 0， 1
16
C. 0，1
4 D.
1
16
，＋∞
答题卡
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．)
13．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的
等腰梯形，则原平面图形的面积为____________．
14．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且 AB∥CD，正方体的六
个面所在的平面与直线 CE，EF 相交的平面个数分别记为 m，n，那么 m＋n＝__________．
15．已知函数 y＝loga2(3－ax)(a≠0，a≠±1)在[0，2]上是减函数，则实数 a 的取值范围
是______________．16．已知直线 y＝mx 与函数 f(x)＝
2－
1
3
x
，x≤0，
1
2x2＋1，x>0
的图象恰好有 3 个不同的公共点，
则实数 m 的取值范围为____________________．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分 10 分)
如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，棱长 AB＝1.过点 A1 的平面α与正方体的面相交，
交线围成一个正三角形.
(1)在图中画出这个正三角形(不必说明画法和理由);
(2)平面α将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积.18.(本小题满分 12 分)
某纪念章从 2016 年 10 月 1 日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每 1 枚的市场
价 y(单位：元)与上市时间 x(单位：天)的数据如下：
上市时间 x 天 4 10 36
市场价 y 元 90 51 90
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价 y 与上市
时间 x 的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
(2) 利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.19．(本小题满分 12 分)
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，
求证：
(1)B，C，H，G 四点共面；
(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.20．(本小题满分 12 分)
四棱锥 P－ABCD 的四条侧棱长相等，底面 ABCD 为正方形，M 为 PB 的中点．
(1)求证： PD∥平面 ACM;
(2)若 PA＝AB，求异面直线 PD 与 CM 所成角的正弦值.21.(本小题满分 12 分)
定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：对任意 x∈D，存在常数 M＞0，都有|f(x)|≤M 成
立，则称 f(x)是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 f(x)的上界．已知函数 f(x)＝1＋a·
1
3
x
＋
1
9
x
.
(1)当 a＝－1
2
时，求函数 f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数 f(x)在(－∞，0)上是否
为有界函数，请说明理由；
(2)若函数 f(x)在[0，＋∞)上是以 4 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围．
22．(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求 k 的值；
(2)若函数 h(x)＝4f(x)＋1
2x＋m·2x－1，x∈[0，log23]，是否存在实数 m 使得 h(x)最小值为
0，若存在，求出 m 的值； 若不存在，请说明理由．湖南师大附中 2016－2017 学年度高一第一学期
第三次阶段性检测
数学参考答案
一、选择题
1．B 【解析】A＝{y|y＝2x－1 ，x∈R}＝(－1，＋∞)，
B＝{x|y＝log2（1－x2）}＝(－1，1)，
A∩B＝(－1，1)．
2．C
3．D 【解析】显然，A、B、C 符合题意，若俯视图为 D，则其正视图不可能为边长
为 1 的正方形．
4．A
5．B 【解析】先作 y＝f(x)的图象(如下图)，y＝f(|x|)的图象由 y＝f(x)的图象删除 y 轴
的左边部分，再由右边部分关于 y 轴对称得到，故 B 错．
6．D 【解析】可以画出图形来说明 l 与 l1，l2 的位置关系，从而可判断出 A，B，C
是错误的，而对于 D，可假设不正确，这样 l 便和 l1，l2 都不相交，这样可推出和 l1，l2 异面
矛盾，这样便说明 D 正确．
7．C 【解析】当 a∥α时，过 a 作平面β，使得β∥α，
由平面与平面平行的性质得： 这样的平面β有且只有 1 个.
a 与α相交时，设平面为β，a 与α交点为 P, 根据题意 P∈β，P∈α，
则α∩β＝l 且 P∈l，这与α∥β矛盾， ∴这样的β不存在．
综上所述，过平面α外一条直线 a 与α平行的平面的个数为至多 1 个．故选 C.
8．A 【解析】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的
对角线的长为球的直径，即 2R＝ 29，所以该三棱锥的外接球的表面积为：S＝4π×29
4
＝29
π.
9．B 【解析】由题意知 f(x)＝
x＋1
2
，x1
2
，
所以 f(x)的最大值等于 1.
10．D 【解析】连接 EG，EH，FG，∵EH 綊 FG，∴E，F，G，H 四点共面．
由 EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，可得平面 EFGH 与平面 AB′D′
平行，
所以平面 EFGH 内的每条直线都符合条件．选 D.
11．D 【解析】∵f2(x)－bf(x)＝0, ∴f(x)＝0 或 f(x)＝b,
作函数 f(x)＝
－x，x≤0，
－x2＋2x，x>0
的图象如图，
结合图象可知，f(x)＝0 有两个不同的根，f(x)＝b，(0＜b＜1)有三个不同的根，
且 5 个根都不相同，故方程的根的个数是 5,
故选 D.
12．A 【解析】f(x)＝x2－2x＋loga
a
x－1
在 1，3
2 内恒小于零，
即(x－1)20，解得 a
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