湛江一中2016-2017学年度第一学期“第二次大考”
高一级数学科试卷
考试时间:120分钟 满分:150分 命题教师:景晓芳
一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.集合,,若,则实数的值为( )
A.3或-1 B.3 C.3或-3 D.-1
2.已知两条不同的直线和平面,下列说法正确的是( ).
A.如果是不在任何同一个平面内的直线,那么
B.如果是不在任何同一个平面内的直线,那么与相交
C.如果共面,那么
D.如果共面,那么
3.用二分法求方程的近似解,可以取的一个区间是( )
A. B. C. D.
4.已知,,,则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.在下列A、B、C、D四个图象中,大致为函数的图象的是( ).
6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
7.已知函数为定义在R上的奇函数,当
时,(为常数),则的值为( )
A.-3 B.-1 C. D.3
8.若,则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
9.对实数和,定义运算:,设函数.若函数的图象与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知球的直径,是该球球面上的两点,,则三棱锥的体积为 ( ).
A. B. C. D.1
11. 函数在[0,2]上为减函数,则的取值范围是( )
12.设函数,若对任意,都存在,使得,则实数的最大值为( )
A.4 B. C.2 D.
一、 填空题(本大题共4道小题,每小题5分,共20分)
13.函数的定义域是 .
14.设是定义在上的偶函数,则的值域是_______.
15.正方体中,和分别是和的中点,那么直线与直线所成角的大小是 .
16.已知函数,若存在常数,对任意存在唯一的,使得,则称常数是函数在上的 “湖中平均数”.若已知函数
,则在上的“湖中平均数”是 .
一、 解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本题满分10分)
求值:(1)
(2)
18. (本题满分12分)
已知函数(为非零实数)
(1) 判断的奇偶性,并加以证明;
(2) 当时,用定义证明在上单调递减,在上单调递增;
写出在的单调区间(不用加以证明)
19. (本题满分12分)
如图所示的长方体中,底面是边长为2的正方形,为与的交点,, 是线段的中点.
(1)求证:平面;111.KS5U
(2)求三棱锥的体积.
20. (本题满分12分)
我国在“十二五”期间内某产品关税与市场供应量的关系近似的满足:(其中为关税的税率,且,为市场价格,为正常数),当时,市场供应量曲线如图所示:
(1) 根据图象求的值.
(2) 若市场需求量为,它近似满足,当时的价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率的最小值.
17. (本题满分12分)
若函数在区间上的最小值为,求的表达式并写出的最小值.
18. (本题满分12分)
已知函数.
(1) 当时,求满足的的取值;
(2) 若函数是定义在上的奇函数
存在,不等式有解,求的取值范围;
若函数满足,若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值
(注:在单调递减,在单调递增)
湛江一中2016-2017学年度第一学期“第二次大考”
高一级数学科试卷参考答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
A
D
A
C
B
C
B
D
二、 填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.(1)原式=(5分)
(2)原式=………………(5分)18.(1)函数是奇函数……………………………………………………(1分)
的定义域为,关于原点对称………………………(2分)
且……………………………………………(3分)
是奇函数…………………………………………………………………………(4分)
(2) 任取且,
则
………………(6分)
当时,
,即.在上单调递减;……(8分)
当时,
,即.在上单调递增;……(10分)
是奇函数,在上单调递减,在上单调递增,
在上单调递减,在上单调递增;…………………………(12分)
19.(Ⅰ)连接,如图,……………(1分)
∵、分别是、的中点,是矩形,∴四边形是平行四边形,
∴,…………………………(3分)
∵平面,平面,
∴平面;……………………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)由等积法可知…………………………………………………(7分)
∵是边长为2的正方形,∴,……………………………(8分)
又∵是长方体,∴是三棱锥的高,……………(9分)
又……………(12分)
20.解:(1)由图可知时,有解得……………………(4分)
(2) 当时,得……………………………………………(6分)
解得………………………………(8分)
令,在中,对称轴为直线,且图象开口向下。……………………………………………(10分)
时,取得最小值此时所以税率的最小值为…………(12分)
21.解:函数,对称轴为,顶点为,图象开口向上…(1分)
如图1所示,若顶点横坐标在区间左侧时,有,此时,当时,函数取得最小值。……………………………………(4分)
如图2所示,若顶点横坐标在区间上时,有,即。当时,函数取得最小值。………………………………(6分)
图3
如图3所示,若顶点横坐标在区间右侧时,有,即。当时,函数取得最小值 ………………………(9分)
图1 图2 图3
综上所述,……………………………………………(10分)
从而的最小值为1………………………(12分)
22. (1)由题意,,化简得
解得(舍)或………………………………………………(3分)
(2)因为是奇函数,所以,所以
化简并变形得:
要使上式对任意的成立,则且
解得:或,因为的定义域是,所以(舍去)
所以, 所以 ………………………………………(5分)
①
对任意有:
∵∴,∴∴在上递减.……(6分)
∵,∴,即在时有解,
∴,解得:,所以的取值范围为 …………………8分
②因为,所以
即
不等式恒成立,即
即恒成立……………………………………………………(10分)
令,则在时恒成立
令在上单调递减,在上单调递增
∴实数的最大值为6……………………………(12分)