广东省六校联盟2017届高三第三次联考数学理试题 Word版含答案.doc

广东省2017届高三第三次六校联考 理科数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 参考学校：深圳实验中学等六校 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．已知全集，集合，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设复数，，则在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知命题，命题，‎ 则下列判断正确的是（ ）‎ ‎ A. 命题是假命题 B. 命题是真命题 ‎ C. 命题是假命题 D. 命题是真命题 ‎ ‎4．设、、为平面，、为直线，则的一个充分条件是（ ）‎ A. ，， B. ，，‎ C. ，， D. ，，‎ ‎5．已知函数，给出下面四个命题：‎ ‎①函数的最小正周期为；②函数是偶函数；③函数的图象关于直线对称；④函数在区间上是增函数，其中正确命题的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．设，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．已知，则（　 ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．设等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百零三里，日增一十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）‎ A．日 B．日 C．日 D．日 ‎11．已知函数是上的奇函数，且满足，当时，，则方程在上解的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．‎ ‎13．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|‎2a－b|＝________.‎ ‎14．在平面几何中，有这样一个定理：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比.请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质 .‎ ‎15．某港口水的深度y(m)是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作. 下面是某日水深的数据：‎ ‎ t/h ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y/m ‎10‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎ 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）. 某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留 小时（忽略进出港所需的时间）.‎ ‎16．已知直角三角形的三内角，，的对边分别为，，，且不等式恒成立，则实数的最大值是___________． ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的周长的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 设等比数列的前项和为，已知，，且成等差数列. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图1,在直角梯形中,,,, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.‎ A B C D 图2‎ M ‎(Ⅰ) 求证:平面；‎ B A C D 图1‎ M ‎.‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值.‎ 第19题图 ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）设，数列的前项和为，求证：．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数,,设．‎ ‎（Ⅰ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设且证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，，且，‎ 如果，证明：．‎ ‎2017届六校联盟高三第三次联考 理科数学参考答案 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D D C A C A B B C B 二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13. ； ‎ ‎14. 过四面体的内切球的球心作截面交三条棱于三点，则分成的两部分体积之比等于表面积之比；‎ ‎15. ；‎ ‎16. .‎ 三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，‎ 从而，‎ ‎∵，∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（Ⅱ）法一：由正弦定理得：.‎ ‎∴，，‎ ‎.‎ ‎∵‎ ‎∴，即（当且仅当时，等号成立）‎ 从而的周长的取值范围是. ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 法二：由已知：，‎ 由余弦定理得：‎ ‎（当且仅当时等号成立）‎ ‎∴（，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 从而的周长的取值范围是. ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵成等差数列，‎ ‎∴‎ ‎ 即，‎ 则∴，‎ ‎∴. ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2）当时，，‎ 当时，,‎ ‎，‎ 两式相减，得 ‎ ‎ ‎ . ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎19.(本小题满分12分) ‎ 解：（Ⅰ）在图1中,可得,‎ 从而,故 取中点连结,则,又面面,‎ 面面,面,从而平面, ‎ ‎∴ ‎ 又,,‎ ‎∴平面 ……6分 另解:在图1中,可得,从而,故 ‎∵面面,面面,面,从而平面 x A B C D M y z O ‎（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴，如图所示,建立空间直角坐标系.‎ 则,,‎ ‎, ‎ 设为面的法向量,‎ 则即,解得 令,可得 又为面的一个法向量 ‎∴‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎……12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（1）当时，有，解得．‎ 当时，有，解得． ……………2分 ‎（2）（法一）当时，有, ……………①‎ ‎． …………………②‎ ‎①—②得：，即：． ‎ ‎． ‎ ‎ ． …………6分 另解：．‎ ‎ 又当时，有， ． ……………6分 ‎（法二）根据，，猜想：． ‎ 用数学归纳法证明如下： ‎ ‎ （Ⅰ）当时，有，猜想成立．‎ ‎ （Ⅱ）假设当时，猜想也成立，即：．‎ 那么当时，有，‎ 即：，………………………①‎ 又 ， …………………………② ‎ ‎ ①-②得：，‎ 解，得 ．‎ 当时，猜想也成立．‎ ‎ 因此，由数学归纳法证得成立． ……………6分 ‎（3）, ,‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎. ……………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（I），‎ 恒成立 当时，取得最大值.‎ ‎∴，∴ . …………………6分 ‎（II）若的图象与的图象恰有四个不同得交点，‎ 即有四个不同的根，‎ 亦即有四个不同的根.‎ 令，‎ 则 当x变化时，、的变化情况如下表：‎ x 的符号 ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ 的单调性 增 减 增 减 由表格知：，‎ 画出草图和验证可知，‎ 当时，与恰有四个不同的交点.‎ ‎∴ 当时，‎ 的图象与的图象恰有四个不同的交点. …………………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），‎ 由，得；由，得．‎ 在单调递减；在单调递增．‎ 在取最小值． ………………………………4分 ‎（Ⅱ）令，不妨设，‎ 则．‎ ‎， ‎ ‎．‎ 而是增函数，‎ ‎．‎ ‎，‎ 所以在是增函数．‎ ‎，即．‎ ‎． ………………………………8分 ‎（Ⅲ）先证明．‎ 当时，由（Ⅱ）知不等式成立．‎ 假设当时，不等式成立，即 ‎．‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎．‎ 所以，当时，不等式成立，‎ ‎．‎ 由（Ⅰ）在上单调递增，因此在上也单调递增．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎． ……………………………12分 说明：本参考答案只给出一种解法的评分标准，其它解法可参照本评分标准相应评分.‎