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数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C. 3 D．2
2.复数(是虚数单位)，则的虚部为（ ）
A． B． C. D．
3.正项等比数列满足：，则（ ）
A．31 B．32 C. 33 D．34
4.已知，则“”是“有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.设满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．11 B．9 C. －3 D．－1
6.球为三棱锥的外接球，两两垂直，，则球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
7.某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
8.执行如图2所示的程序框图，则输出的的值为（ ）
A．－3 B．－2 C. 0 D．3
9.已知为单位向量，且与非零向量满足，则的夹角为（ ）
A． B． C. D．
10.为坐标原点，为抛物线的焦点，经过点的直线与交于两点，若的面积为，则线段的中点坐标为（ ）
A．1 B．2 C. 3 D．4
11.若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.为坐标原点，直线与双曲线的渐近线分别交于两点，,且均在轴上方，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. 2 D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.从3男2女中任选2人参加培训，其中所选两人为一男一女的概率为 ．
14.定义在上的函数在区间上单调递增，且，则 ．
15.数列满足，则 ．
16.已知是定义在上的偶函数，且满足：①，②，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
四点共圆，且.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若四边形的面积为，求的长.
18. （本小题满分12分）
为了了解某校初三年年级学生的体重情况，现从中抽取100名学生，测量他们的体重（单位：斤），得频数分布表如下：
（Ⅰ）根据频数分布表在图3中作出频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该校初三学生的平均体重（同一区间取中点值）；
（Ⅲ）若该校初三年级共有500人，估计该年级体重不低于105斤的人数.
19. （本小题满分12分）
如图4，四棱锥中，平面平面，,
,点为的重点，为线段上一点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四面体的体积.
20. （本小题满分12分）
平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴长为4.为椭圆上一点，,且满足.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线交所得弦长为，求直线的方程.
21. （本小题满分12分）
已知函数，其中为自然对数的底数.若在处的切线与直线垂直.
（Ⅰ）求，并判断在内的单调性；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为.
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: ADABA 6-10: CBCBB 11、12：DD
【解析】
1.，则中的元素有5个，故选A.
2.，则的虚部为-2，故选D.
3.或－1（舍），,故选A.
5约束条件表示的可行域为图1中的边界及内部，易知当目标函数经过点时，取最大值，最大值为，故选A.
6.采用补形法可知，球的直径，所以，
,故选C.
7.该几何体为正方体和一个三棱锥组合而成，体积为，故选B.
8.依次执行的程序为：，之后输出，故选C.
9.，所以，
又∵，∴，∴. 故选B.
10.当斜率不存在时，,不符合题意；当斜率存在时，设的斜率为，则的方程为，代入得，所以，,点到直线的距离，所以，解得，所以线段的中点横坐标，故选B.
11.因为函数在区间内单调递增，所以，在内恒成立，令，则，故，故选D.
12.如图2所示，记直线与轴的交点为，不妨设，由双曲线的对称性可知，由角平分线定理可知，所以①，联立得，同理，代入①式解得，所以离心率，故选D.
二、填空题
13. 14. 15. 16.
【解析】
13.所有选法共有10种，其中一男一女的选法有6种，所以.
14.由题意知：和为一对相邻的对称中心和对称轴，∴，∴,∴.
15.由，知，同理，，所以数列是周期为3的周期数列，∴.
16.为偶函数①，又②，
又恒成立，知③，由①②③得:，故.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）因为四点共圆，
∴,
由，可令,
化简得：，又,∴.
（Ⅱ），
∴，∴，
∴，
即.
18. 解：（Ⅰ）如图3.
（Ⅱ）该校初三学生体重的样本平均数为：
，
所以该校初三学生体重的平均数的估计值为100.
（Ⅲ）体重不低于105的初三学生所占比例的估计值为，则.
即估计该年级体重不低于105斤的人数为150人.
19.（Ⅰ）证明：如图4，连接并延长使其与交于点，
因为点为的重心，所以，
又，所以，且.
因为，
所以,
又，所以,
所以四边形为平行四边形，
所以
又∵平面，且平面，
所以平面.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知.
因为，
所以到的距离为2.
由（Ⅰ）知.
20. 解：（Ⅰ）由解得，
所以椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设点，则，①
由得，
化简得，②
联立①②得所以点.
若的斜率不存在，则弦长为4，不成立；
若的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，
代入得，解得根为，
所以弦长为，
化简得，解得，
所以直线的方程为或.
21. 解：（Ⅰ），
直线的斜率为，
因为在处的切线与直线垂直，
所以
故，
当时，，则
故在内单调递增.
（Ⅱ），
令，则，
已知条件等价于在内恒成立，而，
在内恒成立，故在内单调递增.
①，即时，恒成立，在内单调递增，必有恒成立；
②，即时，必存在，使得当时，，则在内单调递增，而，不可能保证恒成立.
综上：.
22. 解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
点的极坐标为：，化为直角坐标为.
直线的参数方程为，即 (为参数).
（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
整理得：，
显然有，则，
，
所以.
23. 解：（Ⅰ）∵，
∴
或或
或.
综上，不等式的解集为.
（Ⅱ）存在使不等式成立时，
由（Ⅰ）知，时，，
或，
∴实数的取值范围为.
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