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数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2.设集合，，若，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3.某大学开展数学建模大赛，现将3名计算机专业学生和6名数学专业学生分成3个组，分别选做题，题，题，每个小组由1名计算机专业学生和2名数学专业学生组成，不同的安排方案共有 （ ）
A．240个 B．360个 C．540个 D．720个
4.已知幂函数的图象过点，则的值为 （ ）
A． B．0 C. D．
5.已知数列满足，则与的等比中项为（ ）
A． B． C. D．
6.在中，点满足，则 （ ）
A． B．
C. D．
7.已知双曲线的左右焦点分别为，若上一点满足，且，则的离心率为 （ ）
A． B． C. D．
8.某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积是 （ ）
A． B． C. D．
9.阅读如图2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 （ ）
A．7 B．9 C. 11 D．13
10.若所满足的约束条件，表示的平面区域的面积为，则的最大值为 （ ）
A．5 B．3 C. 2 D．－1
11. 如图3，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成，若为线段的中点，在翻转过程中有如下4个命题：①存在某个位置，使∥平面；②存在某个位置，使；③存在某个位置，使；④点在半径为的球面上运动.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C. ①③④ D．①②③
12. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．2211 B．2080 C. 1830 D．2275
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.二项式的展开式中各项的系数和为0，则展开式中的系数为 ．
14.已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
15.现用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组1000个）区间上的均匀随机数和，由此得到1000个点，再数出其中满足的点数750，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 ．
16.设抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，直线过点且与交于两点，与交于点，若，则直线的斜率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
如图4，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）已知的外接圆半径为，的内切圆半径为，求的值.
18. （本小题满分12分）
如图5，五棱锥中，底面，，点是的中点，正方形的边长为2，分别为的中点.
（Ⅰ）在所给图中画出平面与平面的交线并说明理由；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅲ）平面与棱交于点，求线段的长.
19. （本小题满分12分）
投到某杂志的1篇稿件，先由两位初审专家进行评审，这篇稿件能通过初审专家评审的人数为，若，则再由第三位专家进行复审，若能通过这位专家的复审，则予以录用；若，则再由另外两位专家进行复审，若能通过两位初审专家的复审，则予以录用；其他情况下，则不予录用.该稿件能通过各初审专家评审的概率为，通过各位复审专家评审的概率为.初审或复审需要两位专家评审时，这两位专家都要进行评审，且专家独立评审.
（Ⅰ）求这篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）已知每位专家收取的审稿费用为50元/次，对这篇稿件评审所需要的审稿费记为（单位：元），求的分布列及期望.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过作的不垂直于轴的弦，的周长为.
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）设为的中点，当直线与交于两点时，求四边形的面积的最小值.
21. （本小题满分12分）
设函数，其中为非零实数.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，设，且函数在区间上存在最大值，最大值记为.若方程无解，试求实数的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为.
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: DBCAD 6-10: BDACA 11、12：CA
【解析】
1.是纯虚数，所以，即，故选D.
2．由题意可知，又，则，所以，故选B.
3.三个题目依次选人，则，故选C.
4.易知，∴，故选A.
5.当时，，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以.由等比中项定义知与的等比中项为，故选D.
6.由题意知，故选B.
7.因为，所以，设，则，，，所以，故选D.
8.该几何体是半径为1的半圆柱及三棱柱的组合体，还原的几何体为图1所示，易算得该几何体的体积为，故选A.
9.程序在执行过程中的值依次为：
.程序结束，输出，故选C.
10. 由题意可知，,画出区域，由解得
，由解得
，所围成的区域为(如图2)，
则，解得，则易知过点，
即时，，故选A.
11.如图3，取中点，连接，易得，.
∴平面平面，平面，∴平面.
①正确：假设存在某个位置使，由题意易得，
∴平面，∴,与矛盾，所以②错误：当平面⊥平面时，平面平面，又因为，则，则.③正确：,,由余弦定理得,∴为定长，为定点,∴
在以为球心，半径为的球面上运动，④正确，故选C.
12.由及，两式相减得，当为奇数时，，当为偶数时，，所以
，故选A.
二、填空题
13. 21 14. 15. 3 16.
13.令，得，∴，故展开式中的系数为.
14.是偶函数，易知时，递增，则，则，解得.
15.由几何概型及积分的几何意义易知：，则.
16.过点向准线作垂线，设准线与轴交于点，则，得到，设直线倾斜角为，由得，.
三、解答题
（Ⅱ）因为为直角三角形，
所以的外接圆半径，
由余弦定理知：，∴
又，
所以，故.
18. 解：（Ⅰ）如图4，平面与平面的交线为，
为中点，
理由如下：
∵平面，平面，
∴平面.
过点作，连接，
∵平面，平面平面，
∴,∴.
则为中点.
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
各点坐标如下：
，
设平面的法向量为，
，
即
令，则
又∵，∴，
直线与平面所成的角为.
（Ⅲ）设，由，则，
∴∴，
又∵平面，，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴.
19. 解：（Ⅰ）记事件“这篇稿件被录用”，事件：“且复审通过”，事件：“且复审通过”，
.
（Ⅱ）的可能取值为100，150，200
,
,
.
则的分布列为
∴
20. 解：（Ⅰ）由题意可知，
所以，
那么的标准方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，
由得，
所以，
，于是，
所以直线的斜率为，直线的方程为，
由，得，
即.
设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，
所以，
即，
故四边形的面积，
当且仅当时，取得最小值.
21. 解：（Ⅰ）函数的定义域为，且
.
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，，令得.
即在上单调递增；在上单调递减.
（Ⅱ），则
.
由于，则，，
令得，
又在区间上存在最大值，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
从而，
且的最大值为
，
则，
由于，从而恒成立，即在上单调递减，
故有，且当时，，从而，
由于方程无解，则实数的最大值为.
22. 解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
点的极坐标为：，化为直角坐标为.
直线的参数方程为，即 (为参数).
（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
整理得：，
显然有，则，
，
所以.
23. 解：（Ⅰ）∵，
∴
或或
或.
综上，不等式的解集为.
（Ⅱ）存在使不等式成立时，
由（Ⅰ）知，时，，
或，
∴实数的取值范围为.
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