文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设（，为虚数单位），则模（ ）
A．1 B． C． D．
3.若实数满足，则使得取得最大值的最优解为（ ）
A． B． C． D．
4.设是数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
5.去城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.执行如图的程序框图，则输出的是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7.已知在上是偶函数，且满足，当时，，则（ ）
A．8 B．2 C. D．50
8.已知函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数图象关于点对称
C. 函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称
9.某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表
气温（）
20
16
12
4
用电量（度）
14
64
28
42
由表中数据得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量的度数是（ ）
A．70 B．68 C. 64 D．62
10.下列判断错误的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C. 若“”为假命题，则均为假命题
D．命题“若，则或”的否命题为“若，则且”
11.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，且，则 ．
14.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是个圆，则该几何体的体积等于 ．
15.已知为第二象限角，且，则 ．
16.已知函数，若，且，则的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知是等差数列，满足，数列满足，且为等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. （本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
19. （本小题满分12分）
已知如图正四面体的侧面积为，为底面正三角形的中心.
（1）求证：；
（2）求点到侧面的距离.
20.（本小题满分12分）
某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？
（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.
①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；
②求当天的利润不低于600圆的概率.
（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？
21.（本小题满分12分）
设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的方程为.
（1）写出曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
汕头市2016~2017学年度普通高中毕业班教学质量监测
文科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
A
D
C
D
A
B
B
C
A
C
B
D
二、填空题：每小题5分，满分20分．
13．； 14．； 15．； 16．．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.解：（1）设的公差为，的公比为，
，
，
.
，，
，
，
.
（2）
18.解：（1）根据正弦定理得：
，
即
（2）
根据余弦定理得：
，即
的周长为：.
19.解：（1）证明：取的中点,连结，
是等边三角形是的中点
是等边三角形是的中点
,平面
平面
平面
（2）解法一：由（1）可知平面
平面，
平面平面
平面平面
过点作，则平面
就是点到侧面的距离.
由题意可知点在上，设正四面体的棱长为，
正四面体的侧面积为
，
在等边三角形中，是的中点
同理可得
为底面正三角形的中心
，
在中，
由
得：
，即点到侧面的距离为.
解法二： 连结，则
由题意可知点在上，
设正四面体的棱长为，
正四面体的侧面积为
，
在等边三角形中，是的中点
为底面正三角形的中心
，
在中，
设点到侧面的距离为，
由得，
，即点到侧面的距离为.
20.解：（1）当时，，
当时，，
（2）①由（1）得当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：
②设“当天利润不低于”为事件，由①知，“当天利润不低于”等价于
“需求量不低于个”
所以当天的利润不低于元的概率为：
（3）若一天制作个蛋糕，则平均利润为：
；
若一天制作个蛋糕，则平均利润为：
；
蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕.
21.解：（1）函数的定义域为
当时，令得；令得或，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间；
当时，令得；令得或，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.
（2） 由（1）可知，当时，
函数的单调增区间为和，单调减区间为，
所以，，
注意到，
所以函数有唯一零点，当时，函数在上单调递增，
又注意到， 所以函数有唯一零点；
当时，函数的单调递增是和上，单调递减是上，
所以，，
注意到，
所以函数有唯一零点，
综上，函数有唯一零点.
22.解:（1）由及得：
，即，
所以曲线的参数方程为：；
（2）设点，则点到直线的距离为：
所以当时，点，
此时，即，
所以，
所以点坐标为，点到直线的距离最大值为.
法2：圆心C(2，1)到直线的距离为
故圆上的点P到直线的最大距离
设过C(2，1)与直线垂直的直线为，则的方程为，即
代入得 解得
由图可得取最大值点的横坐标为
故点的纵坐标为
所以点坐标为，点到直线的距离最大值为.
当时，，即，解得：，
所以不等式的解集为；
（2）因为，所以不等式恒成立，
等价为恒成立，即，
解得：或
即或恒成立，
因为，所以，即，
故的取值范围为：．
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