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黄冈市2017年元月高三年级调研考试
文科数学
2017年元月9日
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.设集合，则
A. B. C. D.
2.关于x的方程有实根b，且，则复数z等于
A. B. C. D.
3.已知等比数列，则是的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下列说法正确的是
A. “若，则”的否命题是“若，则”
B. 在中，“” 是“”必要不充分条件
C. “若，则”是真命题
D.使得成立
5.在正方体中，异面直线与所成角的大小为
A. B. C. D.
6.已知实数，那么它们的大小关系是
A. B. C. D.
7.函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为
A. B. C. D.
8.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即
）的声波的振幅为
A. B. C. D. 3
9.下列四个图中，可能是函数的图象是是
10.已知，则的面积为
A. 2 B. C. 1 D.
11.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为（注：圆台侧面积公式为）
A. B.
C. D.
12.已知，若在区间上有且只有一个极值点，则a的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则 .
14.已知向量的夹角为，且，则 .
15.设实数满足则的取值范围是 .
16. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
（1）求角A的大小；
（2）求的面积.
18.（本题满分12分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：
甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；
乙运动员得分：49,24,12，31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.
（1）用十位数为茎，在答题卡中画出原始数据的茎叶图；
（2）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2,3,4的比赛中抽取一个容量为5的样本，从该样本中随机抽取2场，求其中恰有1场得分大于40分的概率.
19.（本题满分12分）已知数列的各项均为正数，观察程序框图，若时，分别有
（1）试求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
20.（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，,平面平面,平面平面,,在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC,截面CDE交SB于点F.
（1）求证：EF//CD;
（2）求三棱锥S-DEF的体积.
21.（本题满分12分）已知函数
（1）若关于x的方程只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
22.（本题满分12分）已知，函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：
一、
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
C
C
C
A
A
D
C
D
D
A
二、13. 14. 15. 16. 134
17.解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，
再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．…………………（5分）
（Ⅱ） 锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．
当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．（10分）
18.解：（Ⅰ）由题意得茎叶图如图：…………………………………………（5分）
（Ⅱ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4
的比赛中抽取一个容量为5的样本，
则得分十位数为2、3、别应该抽取1，3，1场，
所抽取的赛场记为A，B1，B2，B3，C，
从中随机抽取2场的基本事件有：
（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C），
（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），
（B2，C），（B3，C）共10个，
记“其中恰有1场的得分大于4”为事件A，
则事件A中包含的基本事件有：
（A，C），（B1，C），（B2，C），（B3，C）共4个，
∴…………………………………………………………（12分）
答：其中恰有1场的得分大于4的概率为．
19.解：
解得：或（舍去），则..................6分
（2）
则
...............12分
20. 证明：（1）CD//ABCD//平面SAB
又平面CDEF∩平面SAB=EFCD//EF……………………（6分）
（2）CDAD，平面SAD平面ABCD
CD平面SAD CDSD，同理ADSD
由（1）知EF//CD EF平面SAD
EC=AC，， ED=AD
在中AD=1，SD= 又 ED=AD=1
E为SA中点，的面积为
三棱锥S-DEF的体积……………………（12分）
21.解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…………6分
（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………12分
22.解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．
①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，
当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时f（）为函数f（x）的最大值，
当f（）≤0时，f（x）最多有一个零点，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，
此时，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，
f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），
令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，
∴a的取值范围是（0，1）．………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．
下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，
函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，
于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，
由（1）可知，即．………………12分
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