北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高一数学试题.doc

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷 ‎ 高一数学 2017.1‎ 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 A卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分 题号 一 二 三 本卷总分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 分数 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1. 如果是第三象限的角，那么（ ）‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）以上都不对 ‎2. 若向量，满足，则实数等于（ ） ‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3. 若角的终边经过点，则（ ）‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4. 函数是（ ）‎ ‎ （A）奇函数，且在区间上单调递增 ‎（B）奇函数，且在区间上单调递减 ‎ （C）偶函数，且在区间上单调递增 ‎（D）偶函数，且在区间上单调递减 ‎5. 函数的图象（ ）‎ ‎ （A）关于直线对称 ‎（B）关于直线对称 ‎ （C）关于直线对称 ‎（D）关于直线对称 A B C D ‎6. 如图，在中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则（ ）‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎ （C）2‎ ‎（D）‎ ‎7. 定义在上，且最小正周期为的函数是 ( ) ‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8. 设向量的模分别为2和3，且夹角为，则等于 ( ) ‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎9. 函数（其中）的图象的一部分如图所示，则（ ）‎ ‎ （A）‎ y O 2 6 x ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ A O B C M N P ‎10. 如图，半径为1的切直线AB于O点，射线OC从OA出发，绕着点O，顺时针方向旋转到OB，在旋转的过程中，OC交于点P，记，弓形（阴影部分）的面积，那么的图象是（ ）‎ ‎（D）‎ ‎ ‎ O x y ‎ ‎ ‎（C） ‎ ‎ ‎ O x y ‎ ‎ ‎（B）‎ ‎ ‎ O x y ‎ ‎ ‎（A）‎ ‎ ‎ O x y ‎ ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.‎ ‎11. 若向量与向量平行，则实数=______.‎ ‎12. 若为第四象限的角，且，则______；______.‎ ‎13. 将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为______.‎ ‎14. 若均为单位向量，且与的夹角为，则与的夹角等于______.‎ ‎15. 已知，则_____.‎ ‎16. 已知函数满足，给出以下四个结论:‎ ‎ ； ，；‎ ‎ 可能等于； 符合条件的有无数个，且均为整数.‎ ‎ 其中所有正确的结论序号是______.‎ 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）若直线与函数的图象无公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，则得到函数.‎ A B D C P ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）对于任意，求函数的最大值.‎ B卷 [学期综合] 本卷满分：50分 题号 一 二 本卷总分 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 分数 一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上.‎ ‎1．设全集，集合，，则_____． ‎ ‎2．已知函数 若，则实数 . ‎ ‎3．定义在R上的函数f (x)是奇函数，且在是增函数，，则不等式的解集为_____．‎ ‎4．函数的值域为_____．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]＝3，[0.7]＝0.）‎ xA ‎30 m ‎30 m ‎5． 在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200 m2的内接矩形花园（阴影部分）， 则其边长x（单位：m）的取值范围是______. ‎ 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎6．（本小题满分10分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值； ‎ ‎（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论．‎ ‎7．（本小题满分10分）‎ 已知函数，，其中. ‎ ‎（Ⅰ）若函数的图象关于直线对称，求的值；‎ ‎（Ⅱ）给出函数的零点个数，并说明理由.‎ ‎8．（本小题满分10分）‎ 设函数的定义域为R，如果存在函数，使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数.‎ 已知函数的图象经过点.‎ ‎（Ⅰ）若，．写出函数的一个承托函数（结论不要求注明）；‎ ‎（Ⅱ）判断是否存在常数，使得为函数的一个承托函数，且为函数的一个承托函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ‎ 北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷 高一数学参考答案及评分标准 2017.1‎ A卷 [必修 模块4] 满分100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.‎ ‎1.C 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 9.B 10.A.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. ‎ ‎11. 12. , 13. (或) 14. 15. 16. 注：第16题少选得2分，多选、错选不得分.‎ 三、解答题：本大题共3小题，共36分.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由，得， ………………3分 ‎ 解得. ………………5分 ‎ 所以. ………………8分 ‎（Ⅱ）由，得. ‎ 将分式的分子分母同时除以,‎ 得. ………………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解:（Ⅰ）‎ ‎ ………………2分 ‎ ………………3分 ‎ ………………4分 ‎ ， ………………6分 ‎ 由，得，‎ ‎ 所以的单调递增区间为. ………………8分 ‎（Ⅱ）因为, ‎ ‎ 所以函数的值域为. ………………10分 ‎ 因为直线与函数的图象无公共点，‎ ‎ 所以. ………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）如图，以点为原点，以AB，BC所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系， ‎ ‎ 则，，，，，，.‎ A B x D C P ‎ y ‎ ‎ ………………2分 ‎ 由, 得. ‎ ‎ 所以，‎ ‎ . ………4分 ‎ 所以， ‎ ‎ 即. ………………6分 ‎ 所以. ………………7分 ‎ （注：若根据数量积定义，直接得到，则得3分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），知函数为二次函数，其图象开口向上，‎ ‎ 且对称轴为， ………………8分 ‎ 因为对称轴，， ……10分 ‎ 所以当时， 取得最大值. ………………12分 B卷 [学期综合] 满分50分 一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. ‎ ‎1. 2. 或 3. 4. 5. ‎ 注：第2 题少解不得分.‎ 二、解答题：本大题共3小题，共30分.‎ ‎6.（本小题满分10分）‎ 解:（Ⅰ）由，得， ………………2分 ‎ 解得. ………………4分 ‎（Ⅱ）由函数有意义，得. ………………5分 ‎ 所以函数的定义域为，或. ………………6分 因为，‎ 所以，‎ 即函数为奇函数. ………………10分 ‎7.（本小题满分10分）‎ 解: （Ⅰ）由函数，，‎ ‎ 得函数. ………………1分 ‎ 因为函数的图象关于直线对称，‎ ‎ 所以，即，‎ ‎ 解得. ………………3分 ‎（Ⅱ）方法一：由题意，得.‎ 由，得， ………………5分 当时，‎ ‎ 由，得，‎ ‎ 所以方程无解，‎ ‎ 即函数没有零点； ………………6分 当时， ‎ ‎ 因为在上为增函数，值域为，且，‎ ‎ 所以有且仅有一个使得，且对于任意的，都有，‎ ‎ 所以函数有且仅有一个零点； ………………8分 当时， ‎ ‎ 因为在上为增函数，值域为，且， ‎ ‎ 所以有且仅有一个使得，有且仅有一个使得，‎ ‎ 所以函数有两个零点.‎ 综上，当时，函数没有零点； 当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点. ………………10分 ‎ 方法二：由题意，得.‎ 由，得， ………………5分 ‎ 即，或，‎ ‎ 整理，得，或. ‎ ‎ 考察方程的解，‎ ‎ 由函数在上为增函数，且值域为，‎ ‎ 得当，即时，方程有且仅有一解；当，即时，方程有无解； ………………7分 ‎ 考察方程的解，‎ ‎ 由函数在上为增函数，且值域为，‎ ‎ 得当，即时，方程有且仅有一解；当，即时，方程有无解. ………………9分 综上，当时，函数没有零点； 当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点. ………………10分 ‎ 注：若根据函数图象便得出答案，请酌情给分，没有必要的文字说明减2分.‎ ‎8.（本小题满分10分） ‎ 解：（Ⅰ）答案不唯一，如函数，等. ………………3分 ‎（Ⅱ）因为函数的图象经过点，‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 因为为函数一个承托函数，且为函数的一个承托函数，‎ ‎ 所以对恒成立.‎ ‎ 所以，即 . ………………5分 ‎ 由，得 ，. ………………6分 ‎ 所以.‎ ‎ 由对恒成立，得对恒成立.‎ ‎ 当时，得对恒成立，显然不正确； ………………7分 ‎ 当时，由题意，得 即，‎ ‎ 所以. ………………9分 代入，得，‎ 化简，得对恒成立，符合题意.‎ 所以，，. ………………10分