北京丰台区2017届高三数学上学期期末练习试题(理含答案)
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资料简介
www.ks5u.com 丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习 ‎ 高三数学(理科)2017.01‎ 第一部分 (选择题 共40分) ‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合,,那么等于 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎2.已知,则下列不等式一定成立的是 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎3.如果平面向量,,那么下列结论中正确的是 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎4.已知直线,和平面,如果,那么“”是“”的 ‎(A)充分而不必要条件 ‎(B)必要而不充分条件 ‎ ‎(C)充分必要条件 ‎(D)既不充分也不必要条件 ‎5.在等比数列中,,9,则等于 ‎(A)9‎ ‎(B)72‎ ‎(C)9或72‎ ‎(D) 9或72‎ ‎6. 如果函数的两个相邻零点间的距离为,那么的值为 ‎(A)1‎ ‎(B)1‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎7. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中寸表示115寸分(1寸=10分).‎ ‎ 节气 冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 ‎(大雪)‎ ‎(小雪)‎ ‎(立冬)‎ ‎(霜降)‎ ‎(寒露)‎ ‎(秋分)‎ ‎(白露)‎ ‎(处暑)‎ ‎(立秋)‎ ‎(大暑)‎ ‎(小暑)‎ 晷影长 ‎(寸)‎ ‎135‎ ‎16.0‎ 已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 ‎(A)72.4寸 ‎(B)81.4寸 ‎(C)82.0寸 ‎(D)91.6寸 ‎8. 对于任何集合S,用表示集合S中的元素个数,用表示集合S的子集个数. 若集合A,B满足条件:2017,且,则等于 ‎(A)2017‎ ‎(B)2016‎ ‎(C)2015‎ ‎(D)2014‎ 第二部分 (非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9. i是虚数单位,复数= .‎ ‎10. 设椭圆C:的左、右焦点分别为,,点P在椭圆C上,如果,那么椭圆C的离心率为 .‎ ‎11.在的展开式中,常数项是 (用数字作答).‎ ‎12.若满足 则的最大值为 . ‎ ‎13.如图,边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中,AC在x轴上,顶点B与y轴上的定点P重合.将正三角形ABC沿x轴正方向滚动,即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转,当顶点B落在轴上时,再以顶点B为旋转中心顺时针旋转,如此继续.当△ABC滚动到△时,顶点B运动轨迹的长度为 ;在滚动过程中,的最大值为 .‎ ‎14.已知为偶函数,且时,(表示不超过x的最大整数).设,若,则函数有____个零点;若函数三个不同的零点,则的取值范围是____.‎ 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(本小题共13分)‎ 如图,在△ABC中,D是BC上的点,,,,.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求边AB的长.‎ ‎16.(本小题共14分)‎ 如图所示的多面体中,面是边长为2的正方形,平面⊥平面,,分别为棱的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)已知二面角的余弦值为,‎ 求四棱锥的体积.‎ ‎17.(本小题共14分)‎ 数独游戏越来越受人们喜爱,今年某地区科技馆组织数独比赛,该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛,参赛学生的人数如下表所示:‎ 中学 ‎ 甲 ‎ 乙 ‎ 丙 ‎ 丁 人数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为了解参赛学生的数独水平,该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查.‎ ‎(Ⅰ)问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生?‎ ‎(Ⅱ)从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名,求这2名学生来自同一所中学的概率;‎ ‎(Ⅲ)在参加问卷调查的30名学生中,从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名,用X表示抽得甲中学的学生人数,求X的分布列.‎ ‎18.(本小题共13分)‎ 已知函数与函数的图象在点处有相同的切线.‎ ‎(Ⅰ)求a的值;‎ ‎(Ⅱ)设,求函数在上的最小值.‎ ‎19.(本小题共13分)‎ 已知抛物线:的焦点为F,且经过点,过点的直线与抛物线交于,两点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)为坐标原点,直线,与直线分别交于,两点,试判断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.‎ 20. ‎(本小题共13分)‎ ‎ 已知无穷数列满足.‎ ‎ (Ⅰ)若,写出数列的前4项;‎ ‎ (Ⅱ)对于任意,是否存在实数M,使数列中的所有项均不大于M ?若存在,求M的最小值;若不存在,请说明理由;‎ ‎ (Ⅲ)当为有理数,且时,若数列自某项后是周期数列,写出的最大值.(直接写出结果,无需证明)‎ 丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习 高三数学(理科)参考答案及评分参考 ‎ 2017.01‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B D C B D A C B 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9. 10. 11. 15‎ ‎12.4 13.; 14.2;‎ 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(本小题共13分)‎ 解:(Ⅰ)在△中,由余弦定理,得 ‎ ……………….2分 ‎ ……………….4分 ‎ 因为,所以. ……………….6分 ‎ (Ⅱ)因为,所以. ……………….8分 ‎ 在△中,由正弦定理,得 , ……………….10分 ‎ 即,所以边的长为. ……………….13分 ‎16.(本小题共14分)‎ 证明:(Ⅰ)取中点,连接,,‎ ‎ 因为是正方形,所以,.‎ ‎ 因为分别是,中点,所以,.‎ ‎ 又因为且,‎ ‎ 所以,,‎ ‎ 所以四边形是平行四边形, ………….3分 ‎ 所以. ‎ ‎ 又因为平面,平面 ‎ 所以平面. ……………….5分 ‎(Ⅱ)因为平面⊥平面,‎ ‎ 平面平面,‎ ‎ ,平面,‎ ‎ 所以平面. ……………….6分 ‎ 如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.‎ ‎ 设,则 . ………………7分 ‎ 因为⊥底面,所以平面的一个法向量为. ……………….8分 ‎ 设平面PFB的一个法向量为,‎ ‎ ,‎ ‎ 则 ‎ ‎ 即 ‎ 令x=1,得,所以. ……………….10分 ‎ ‎ ‎ 由已知,二面角的余弦值为,‎ ‎ 所以得 , ……………….11分 ‎ 解得a =2,所以. ……………….13分 ‎ 因为是四棱锥的高,‎ ‎ 所以其体积为. ……………….14分 ‎17.(本小题共14分)‎ 解:(Ⅰ)由题意知,四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名,‎ ‎ 抽取的样本容量与总体个数的比值为,‎ ‎ 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9,12,6,3. ………………3分 ‎(Ⅱ)设“从30名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件,‎ 从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有种, ………………5分 来自同一所中学的取法共有. ………………7分 所以. ‎ ‎ 答:从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为. ………………8分 ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知,30名学生中,来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9,6.‎ ‎ 依题意得,的可能取值为, ………………9分 ‎ , ,. ……………12分 ‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ……………….14分 ‎ ‎ ‎18.(本小题共13分)‎ 解:(Ⅰ)因为,所以 ‎. ……………….2分 因为,所以. ……………….4分 ‎ 因为与的图象在(0,0)处有相同的切线,所以,所以. …….5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,‎ ‎ 令,,‎ 则. ……………….6分 ‎ (1)当时,,,所以在[1,2]上是增函数,‎ ‎ 故的最小值为; ……………….7分 (2)当时,由得,, ……………….8分 ‎ ①若,即,则,,所以在[1,2]上是增函数,‎ ‎ 故的最小值为. ……………….9分 ‎ ‎ ②若,即,则,,,,‎ ‎ 所以在上是减函数,在上是增函数,‎ ‎ 故的最小值为; ……………….11分 ‎ ③若,即,则,,所以在上是减函数,‎ ‎ 故的最小值为 ‎. ……………….12分 ‎ 综上所述,当时,的最小值为,‎ ‎ 当时,的最小值为,‎ ‎ 当时,的最小值为. ……………….13分 ‎19.(本小题共13分)‎ 解:(Ⅰ)把点代入抛物线的方程,得,解得,‎ ‎ 所以抛物线的方程为. ……………….4分 ‎(Ⅱ)因为,所以直线为,焦点的坐标为 ‎ 设直线的方程为,,,‎ ‎ 则直线的方程为,直线的方程为. ……………….5分 由得,同理得. ……………….7分 所以,,则. ……………….9分 由得,所以, ……………….11分 ‎ 则.‎ 所以,的值是定值,且定值为0. ……………….13分 ‎20.(本小题共13分)‎ 解:(Ⅰ) ……………….4分 ‎(Ⅱ)存在满足题意的实数, 且的最小值为1.‎ 解法一:猜想,下面用数学归纳法进行证明.‎ ‎ (1)当时,,结论成立.‎ ‎ (2)假设当时结论成立,即,‎ ‎ 当时,‎ ‎ ,所以,‎ ‎ 即,所以,‎ ‎ 故.‎ ‎ 又因为,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 所以时结论也成立.‎ ‎ 综上,由(1),(2)知,成立 ‎ 所以,当时,可得当时, ,此时, 的最小值为1‎ ‎ 故的最小值为1. ‎ 解法二:当时,若存在满足,且.‎ ‎ 显然,则 ‎ 时,与矛盾;‎ ‎ 时,与矛盾;‎ ‎ 所以 ‎ 所以,当时,可得当时, ,此时, 的最小值为1‎ ‎ 故 的最小值为1. ……………………10分 ‎ ‎(Ⅲ) ………………13分 ‎(若用其他方法解题,请酌情给分)‎

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