理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3.命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4.《张丘建算经》卷上第22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ）
A．18 B．20 C. 21 D．25
5.我们可以用随机数法估计的值，下面程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数），若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为（ ）
A．3.119 B．3.126 C. 3.132 D．3.151
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．80 B．160 C. 240 D．480
7.设，则的展开式中常数项是（ ）
A．-160 B．160 C. -20 D．20
8.函数的图像大致为（ ）
A． B．
C. D．
9.已知数列满足，且对任意都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
10.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C. 8 D．16
11.已知直线与双曲线相切于点与双曲线两条渐近线交于两点，则的值为（ ）
A． 3 B．4 C. 5 D．与的位置有关
12.已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C. 4 D．5
二、填空题:本大题共4题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.
13.在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则 ．
14.已知实数满足不等式组，则的最小值为 ．
15.过抛物线的焦点作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于两点，则 ．
16.若函数满足都有，且，则 ．
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知外接圆直径为，角所对的边分别为.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面梯形中，，平面平面是等边三角形，已知.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19. （本小题满分12分）
北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1：4.人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？
非围棋迷
围棋迷
合计
男
女
10
55
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.
附：，其中.
0.05
0.01
3.841
6.635
20. （本小题满分12分）
已知圆与直线相切，设点为圆上一动点，轴于，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线与直线垂直且与曲线交于两点，求面积的最大值.
21. （本小题满分12分）
设函数.
（1）若当时，函数的图像恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为1的圆.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，函数的最小值为4.
（1）求的值；
（2）求的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5: BDAC 6-10: BACDC 11、12：AB
二、填空题
13. 14.-13 15. 16. 4033
三、解答题
17．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）由正弦定理可得：，……2分
所以，，
． ……6分
(Ⅱ)由，得……………8分
由余弦定理得，即，
又，所以，解得或（舍去）．……10分
所以．……………12分
18． 解：（Ⅰ）证明：在中，由于,
,故．……………2分
又，
，，……………4分
又，故平面平面 ……………6分
（2）如图建立空间直角坐标系，,
，
……………8分
设平面的法向量,
由
令, ．…10分
设平面的法向量,
由，令 ，
,二面角的余弦值为 ……………12分
19． 解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，…1分
从而列联表如下：
非围棋迷
围棋迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
……………3分
将列联表中的数据代入公式计算，得
因为，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关. ……………6分
(Ⅱ)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0. 25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意，从而的分布列为
0
1
2
3
……………10分
. ……………12分
20.（Ⅰ）设动点，因为轴于，所以，……1分
设圆的方程为
由题意得，
所以圆的程为.……………3分
由题意, ，所以，
所以，即
将
代入圆,得动点的轨迹方程 ，……………5分
(Ⅱ)由题意设直线l设直线与椭圆交于
，联立方程得，
，解得，
，
又因为点到直线的距离， ……………10分.
面积的最大值为.……………12分
21． （Ⅰ）令，则，，……………2分
①当时，由于，有，
于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即；……………3分
②当时，由于，有，
于是在上单调递减，从而，
因此在上单调递减，即不符；……………4分
③当时，令，当时，
，于是在上单调递减，
从而，因此在上单调递减，
即而且仅有不符.
综上可知，所求实数的取值范围是.……………6分
(Ⅱ)对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数，不等式恒成立，等价变形
相当于（2）中，的情形，……………8分
在上单调递减，即；……………10分
解：（Ⅰ）消去参数可得的直角坐标方程为.
曲线的圆心的直角坐标为，
∴的直角坐标方程为.………………4分
设
则
.
，，.
根据题意可得，
即的取值范围是.………………10分
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）因为，，
所以，当且仅当时，等号成立，又，
所以，所以的最小值为,所以．.………………5分
（Ⅱ）由（1）知，
,
当且仅当时，的最小值为．………………10分
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