2016-2017学年湖北省襄阳市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={x|x≤k}，若M∩N=M，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[2，+∞）
2．已知复数z1=3+ai，z2=a﹣3i（i为虚数单位），若z1•z2是实数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
3．函数f（x）=lnx+3x﹣7的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
4．若经过点（﹣4，a），（﹣2，6）的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直，则a的值为（ ）
A． B． C．10 D．﹣10
5．若x，y满足条件，则z=2x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
6．已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（ ）
A．cosβ=2cosα B．cos2β=2cos2α
C．cos2β=2cos2α D．cos2β=﹣2cos2α
7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．已知双曲线过点P（4，2），且它的渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．若定义域为R的函数f（x）满足：对任意两个不相等的实数x1，x2，都有，记：a=4f（0.25），b=0.5f（2），c=0.2f（5），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
11．在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3=9，a2a4=21，数列{bn}满足，若Sn＞2，则n的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．已知下列四个命题：p1：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p2：若函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是（0，+∞）；p3：若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是；p4：已知函数f（x）的定义域为R，f（x）满足且f（x）=f（x+2），，则方程f（x）=g
（x）在区间[﹣5，1]上所有实根之和为﹣7．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．等边△ABC的边长为2，则在方向上的投影为 ．
14．已知x+y=2（x＞0，y＞0），则的最大值为 ．
15．已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）﹣3x，则曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为 ．
16．已知函数f（x）=x2+2x+a，g（x）=lnx﹣2x，如果存在，使得对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
18．（12分）设各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3=64，a2+a4=72．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2））设，Sn是数列{bn}的前n项和，不等式Sn＞loga（a﹣2）对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
19．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CD1的中点，AA1=AD=1，AB=2．．
（1）求证：EF∥平面BCC1B1；
（2））求证：平面CD1E⊥平面D1DE；
在线段CD1上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，若存在，求
的值，不存在，说明理由．
D1
C1
B1
A1
F
E
D
C
B
A
20．（12分）已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2））如果椭圆C上总存在关于直线y=x+m对称的两点A，B，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+lnx（a＞0），x=是函数的一个极值点．
（1）求实数a的值；
（2））定义：定义域为M的函数y=h（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在M内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．问：函数y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”，若不存在，请说明理由．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）证明：．
2016-2017学年湖北省襄阳市高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={x|x≤k}，若M∩N=M，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[2，+∞）
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】求出集合N中不等式的解集，根据两集合的交集为M，得到M为N的子集，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围．
【解答】解：∵M∩N=M，
∴M⊆N，
∵M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x≤k}，
∴k≥2．
故选D．
【点评】此题常考了交集及其运算，以及集合间的包含关系，其中根据题意得出M是N的子集是解本题的关键．
2．已知复数z1=3+ai，z2=a﹣3i（i为虚数单位），若z1•z2是实数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接把z1，z2代入z1•z2，再利用复数代数形式的乘法运算化简，由已知条件得虚部等于0，求解即可得答案．
【解答】解：由z1=3+ai，z2=a﹣3i，
得z1•z2=（3+ai）（a﹣3i）=6a+（a2﹣9）i，
∵z1•z2是实数，
∴a2﹣9=0，解得a=±3．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．函数f（x）=lnx+3x﹣7的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】二分法的定义．
【分析】由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．
【解答】解：∵函数f（x）=lnx+3x﹣7在其定义域上单调递增，
∴f（2）=ln2+2×3﹣7=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3+9﹣7=ln3+2＞0，
∴f（2）f（3）＜0．
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），
故选：C．
【点评】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．
4．若经过点（﹣4，a），（﹣2，6）的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直，则a的值为（ ）
A． B． C．10 D．﹣10
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率．
【分析】求两直线垂直与斜率之间的关系，建立方程，即可求得a的值．
【解答】解：∵经过点（﹣4，a），（﹣2，6）的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直，
∴=﹣1，解得：a=10．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线垂直与斜率之间的关系，是基础的计算题．
5．若x，y满足条件，则z=2x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．
【解答】解：作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z，
经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．
由，解得A（0，2）．
此时z的最大值为z=2×0﹣2=﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．考查计算能力．
6．已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（ ）
A．cosβ=2cosα B．cos2β=2cos2α
C．cos2β=2cos2α D．cos2β=﹣2cos2α
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简所给的条件，可得结论．
【解答】解：∵已知sinθ+cosθ=2sinα，则1+sin2θ=4sin2α，即sin2θ=4sin2α﹣1，
又sin2θ=2sin2β，∴4sin2α﹣1=2sin2β，即4•﹣1=2•，
即 cos2β=2cos2α，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．
7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，
四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，
圆锥的底面半径是1、高是2，
∴所求的体积V==，
故选：B．
【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
8．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】数列的应用．
【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十日所织尺数．
【解答】解：设第一天织a1尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，
由已知得，
解得a1=1，d=1，
∴第十日所织尺数为a10=a1+9d=1+9×1=10．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
9．已知双曲线过点P（4，2），且它的渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线过点P（4，2），且它的渐近线与圆相切，建立方程，求出a，b，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：由题意，，
∴a=2，b=2，
∴双曲线的方程为=1，
故选A．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，直线与圆相切的条件，以及点到直线的距离公式，考查方程思想，化简、计算能力．
10．若定义域为R的函数f（x）满足：对任意两个不相等的实数x1，x2，都有，记：a=4f（0.25），b=0.5f（2），c=0.2f（5），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．
【分析】∴对任意两个不等的正实数x1，x2，都有⇒，令g（x）=，易得g（x）在（0，+∞）上递减即可．
【解答】解：定义域为R的函数f（x）满足：对任意两个不等的实数x1，x2
，都有，
∴对任意两个不等的正实数x1，x2，都有⇒，
令g（x）=，易得g（x）在（0，+∞）上递减，a=4f（0.25）=g（0.25），b=0.5f（2）=g（2），c=0.2f（5）=g（5），
∴g（0.25）＞g（2）＞g（5），⇒a＞b＞c．故选：A．
【点评】本题考查了构造新函数，函数的单调性的运用，属于基础题．
11．在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3=9，a2a4=21，数列{bn}满足，若Sn＞2，则n的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】数列的求和．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由知a1+a2+a3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得an．由数列{bn}满足，利用递推关系可得bn=，利用错位相减法求出Sn，解不等式Sn＞2即可．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由知a1+a2+a3=9，a2a4=21，
可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21⇒a1=1，d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
， ⇒得，bn==
，
，，⇒．
∵S1=，S2=，S3=，S4=，所以满足Sn＞2的n的最小值为4．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列通项公式与错位相减求和、数列递推关系及其单调性，属于中档题．
12．已知下列四个命题：p1：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p2：若函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是（0，+∞）；p3：若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是；p4：已知函数f（x）的定义域为R，f（x）满足且f（x）=f（x+2），，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上所有实根之和为﹣7．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用；根的存在性及根的个数判断．
【分析】p1：根据奇函数的定义判定即可；
p2：求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的范围即可；
p3：先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围
p4：将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．
【解答】解：关于命题p1：根据奇函数的定义可知，
f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），
故命题p1正确；
关于命题p2：f′（x）=；
∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，
即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax2+1≥1；
要使f（x）在R上为单调函数则x＜0时，a（a+2）＞0，
∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）eax＜a+2，
∴a+2≤1，解得a≤﹣1，不符合a＞0，
∴这种情况不存在；
（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，
即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax2+1≤1；
要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，
解得﹣2＜a＜0，并且（a+2）eax＞a+2，
∴a+2≥1，解得a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0；
综上得a的取值范围为[﹣1，0）；
故命题p2是假命题；
关于命题p3：由题意，y′=lnx+1﹣2ax
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数y=xlnx﹣ax2有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）；
故命题p3正确，
关于命题p4：
∵，且f（x+2）=f（x），
∴f（x﹣2）﹣2=；
又，
∴g（x﹣2）﹣2=，
当x≠2k﹣1，k∈Z时，
上述两个函数都是关于（﹣2，2）对称，
；
由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的实根有3个，
x1=﹣3，x2满足﹣5＜x2＜﹣4，x3满足0＜x3＜1，x2+x3=﹣4；
∴方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为﹣7．
故命题p4正确；
故选：C．
【点评】本题考查均值不等式，主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．等边△ABC的边长为2，则在方向上的投影为 ﹣1 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可求出向量AB，BC的数量积，由在方向上的投影为，计算即可．
【解答】解：∵ =||•||•cos（π﹣B）=2×2×（﹣cos）=﹣2，
∴在方向上的投影为==﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义，投影概念，注意向量的夹角，是一道基础题．
14．已知x+y=2（x＞0，y＞0），则的最大值为 6 ．
【考点】基本不等式．
【分析】利用配方法，结合二次函数的图象与性质，即可求出的最大值．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=2，
∴2≥2，
∴0＜xy≤1，当且仅当x=y=1时取“=”；
∴=（x+y）2﹣2xy+4
=22﹣2+2=6﹣2≤6，
即的最大值是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．
15．已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）﹣3x，则曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为 4x+y﹣1=0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设x＞0，则﹣x＜0，运用已知解析式和奇函数的定义，可得x＞0的解析式，求得导数，代入x=1，计算得到所求切线的斜率，即可求出切线方程．．
【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）=lnx+3x，
由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），
即f（x）=﹣lnx﹣3x，x＞0．
导数为f′（x）=﹣﹣3，
则曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为﹣4，
∵f（1）=﹣3，
∴．曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+3=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣1=0，
故答案为4x+y﹣1=0．
【点评】本题考查函数的奇偶性的定义的运用：求解析式，考查导数的运用：求切线的斜率，求得解析式和导数是解题的关键，属于中档题．
16．已知函数f（x）=x2+2x+a，g（x）=lnx﹣2x，如果存在，使得对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，ln2﹣] ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．
【解答】解：求导函数，可得g′（x）=﹣2=，x∈[，2]，g′（x）＜0，
∴g（x）min=g（2）=ln2﹣4，
∵f（x）=x2+2x+a=（x+1）2+a﹣1，
∴f（x）在[，2]上单调递增，
∴f（x）min=f（）=+a，
∵如果存在，使得对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，
∴+a≤ln2﹣4，
∴a≤ln2﹣
故答案为（﹣∞，ln2﹣]
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为f（x）min≤g（x）min．
三、解答题：（本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2016秋•湖北期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【考点】正弦函数的图象；三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间．
（2）当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值和最小值．
【解答】解：（1）函数=sin2x+（1+cos2x）
=2（sin2x+cos2x）+=2sin（2x+）+．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
同理，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，
求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）当时，2x+∈[﹣，π]，
故当2x+=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣+=0，
当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2+．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的增区间和减区间，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
18．（12分）（2016秋•湖北期末）设各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3=64，a2+a4=72．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2））设，Sn是数列{bn}的前n项和，不等式Sn＞loga（a﹣2）对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）==，利用“裂项求和”方法可得Sn=．数列{Sn}单调递增，因此（Sn）min=．不等式Sn＞loga（a﹣2）对任意正整数n恒成立，只需loga（a﹣2）＜，利用对数函数的单调性即可得出．
【解答】（1）解：设数列{an}的公比为q＞0，∵a1a3=64，a2+a4=72．
∴=64， =72，
∴q=2，a1=4
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1．
（2）解： ==，
Sn=+…+=1﹣=．
∴数列{Sn}单调递增，因此（Sn）min=．
不等式Sn＞loga（a﹣2）对任意正整数n恒成立，
只需loga（a﹣2）＜，
由a﹣2＞0得：a＞2，∴，a2﹣5a+4＜0，解得：1＜a＜4，
又a＞2，
∴实数a的取值范围是（2，4）．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2016秋•湖北期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CD1的中点，AA1=AD=1，AB=2．．
（1）求证：EF∥平面BCC1B1；
（2））求证：平面CD1E⊥平面D1DE；
D1
C1
B1
A1
F
E
D
C
B
A
在线段CD1上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，若存在，求的值，不存在，说明理由．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM，推导出EBMF是平行四边形，从而EF∥BM，由此能证明EF∥平面BCC1B1．
（2）推导出D1D⊥CE，CE⊥DE，从而CE⊥平面D1DE，由此能证明平面CD1E⊥平面D1DE．
（3）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，利用向量法能求出线段CD1上存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，且
=．
【解答】证明：（1）过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM，
∵F是CD1的中点，∴FM∥C1D1，FM=C1D1，（2分）
又∵E是AB中点，∴BE∥C1D1，BE=C1D1，
∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四边形，
∴EF∥BM
又BM在平面BCC1B1内，∴EF∥平面BCC1B1．
（4分）
（2）∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD内，
∴D1D⊥CE
在矩形ABCD中，DE2=CE2=2，
∴DE2+CE2=4=CD2，（6分）
∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，
∴CE⊥平面D1DE，
∵CE在平面CD1E内，∴平面CD1E⊥平面D1DE．（8分）
解：（3）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，
则C（0，2，0），E（1，1，0），D1（0，0，1）
平面D1DE的法向量为=（﹣1，1，0），
设=（0，2λ，﹣λ），（0＜λ＜1），则Q（0，2λ，1﹣λ），
设平面DEQ的法向量为=（x，y，z），
则，令y=1，则=（﹣1，1，），（10分）
∵二面角Q﹣DE﹣D1为45°，∴cos45°===，
由于0＜λ＜1，∴﹣1，
∴线段CD1上存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，且
=．（12分）
【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．
20．（12分）（2016秋•湖北期末）已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2））如果椭圆C上总存在关于直线y=x+m对称的两点A，B，求实数m的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）设|PF1|=m，|PF2|=n，根据PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．
可得m2+n2=，m+n=2a， =1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）设AB的方程为：y=﹣x+n，与椭圆方程联立化为：5x2﹣8nx+4n2﹣4=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系与中点坐标公式可得线段AB的中点坐标，代入直线y=x+m上，进而得出．
【解答】解：（Ⅰ）设|PF1|=m，|PF2|=n，
∵PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．
∴m2+n2=，m+n=2a， =1，
解得a=2，又c=，∴b2=a2﹣c2=1．
∴椭圆C的方程为： =1．
（Ⅱ）设AB的方程为：y=﹣x+n．联立，化为：5x2﹣8nx+4n2﹣4=0，
△=64n2﹣20（4n2﹣4）＞0，解得．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=．y1+y2=﹣（x1+x2）+2n=．
线段AB的中点在直线y=x+m上，
∴+m，解得n=m，
代入，可得＜，解得，
∴实数m的取值范围是．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、得出问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2016秋•湖北期末）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+lnx（a＞0），x=是函数的一个极值点．
（1）求实数a的值；
（2））定义：定义域为M的函数y=h（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在M内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．问：函数y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“
类对称点”，若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）利用导数和函数的极值的关系，进而即可得出答案；
（2）利用“类对称点”的定义及导数即可得出答案．
【解答】解：（1）∵f′（x）=ax﹣a﹣1+，
当a=1时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，无极值，
当＜1时，即a＞1时，在区间（﹣∞，），（1，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，
在（，1）上，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴当x=时，函数有极大值，故=，解得a=4，
当＞1时，即0＜x＜1时，在区间（﹣∞，1），（，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，
在（1，，）上，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x=1时，函数f （x）有极大值，不满足条件
故求实数a的值为4．
（2）由（Ⅰ）可得f（x）=2x2﹣5x+lnx，
∴f′（x）=4x﹣5+=，
点（x0，f（x0））处的切线方程为l：y=g（x）=（x﹣x0）+2x02﹣5x0+lnx0，
函数y=f（x）存在“类对称点“等价于：
当0＜x＜x0时，f（x）﹣g（x）＜0恒成立，
当x＞x0时，f（x）﹣g（x）＞0恒成立，
令φ（x）=f（x）﹣g（x）=2x0x2﹣（4x02+1）x+x0lnx+2x03+x0﹣x0lnx0，
则φ（x0）=2x03﹣4x03﹣x0+x0lnx0+2x03+x0﹣x0lnx0=0，
∴φ′（x）= [4x0x2﹣（4x02+1）+x0]=（4x0x﹣1）（x﹣x0）
当0＜x＜x0时，要使f（x）﹣g（x）＜0恒成立，只需要φ（x）在（0，x0）是增函数，
只要4x0x﹣1＜0，即x＜在（0，x0）上恒成立，
∴x0≤，
解得0＜x0≤，
当x＞x0时，f（x）﹣g（x）＞0恒成立，只需要φ（x）在（x0，+∞）是增函数，
只要4x0x﹣1＞0，即x＞在（x0，+∞））上恒成立，
∴x0≥，
解得x0≥，
∴存在“类对称点”，”类对称点“的横坐标为
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，新概念的引出，渗透了分类讨论思想，属于难题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．
【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的
极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，
故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入
圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ1=2，ρ2=，
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．（2015•太原二模）已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）证明：．
【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．
【分析】（Ⅰ）当a=2时，求不等式即|x+2|+|x+|＞3，再利用对值的意义求得它的解集．
（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式、基本不等式，证得要证的结论．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3，即|x+2|+|x+|＞3．
而|x+2|+|x+|表示数轴上的x对应点到﹣2、﹣对应点的距离之和，
而0和﹣3对应点到﹣、对应点的距离之和正好等于3，
故不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣，或 x＞}．
（Ⅱ）证明：∵f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣+a||﹣+|
=（|m+a|+|﹣+a|）+（|m+|+|﹣+|）≥2（|m+|）=2（|m|+||）≥4，
∴要证得结论成立．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式、基本不等式的应用，属于中档题．
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