高一年级数学试题
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合，，则 ．
2.函数的最小正周期为 ．
3.已知点，，则向量的坐标为 ．
4.若指数函数（，且）的图象经过点，则的值为 ．
5.的值等于 ．
6.函数的定义域是 ．
7.已知向量满足，，与的夹角为，则 ．
8.若偶函数满足，且，则的值为 ．
9.设函数，则的值为 ．
10.已知且，函数的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为 ．
11.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对于满足的，有，则的值为 ．
12.设四边形为平行四边形，，，若点，满足，，则的值为 ．
13．设函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
14．已知不等式对任意恒成立，其中是整数，则
的取值的集合为 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. （本小题满分14分）
已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16. （本小题满分14分）
已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
17. （本小题满分14分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
3
0
0
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数的解析式；
（2）若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求当时，函数的值域；
（3）若将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，若图象的一个对称中心为，求的最小值．
18. （本小题满分16分）
已知向量，．
（1）若，求与的夹角；
（2）设．
①求实数的值；
②若存在非零实数，，使得，求的最小值．
19. （本小题满分16分）
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元．某月甲、乙两户共交水费元，已知甲、乙两户该月用水量分别为，吨．
（1）求关于的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．
20. （本小题满分16分）
已知函数，．
（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（2）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）若的值域为区间，是否存在常数，使区间的长度为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（注：区间的长度为）．
2016-2017学年度第一学期期末抽测
高一数学试题参考答案
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．
8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题
15．（1）当时，，由于， 所以．…………6分
（2）由，得，………………………………………………………9分
于是即，
所以，的取值范围是．…………………………………………………14分
16．（1）因为，所以，
即，……………………………………………………………2分
于是，
从而．………………………………………………………4分
因此，．……………………6分
（2）因为，所以，即，……………8分
于是，………………………………………………………………10分
因此， …………………………………12分
．………14分
17.（1）根据表中已知数据可得：，，，解得，. 数据补全如下表：
0
3
0
0
…………………………………………………………………………………………3分
函数表达式为.……………………………………………5分
（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，所以．………………………………………7分
当时，，
所以．
于是函数的值域为．………………………………………………9分
（3）由（1）可得，，
由图象的一个对称中心为可得，，
所以，即，………………………12分
从而，解得，
由可得，当时，取得最小值.…………………………………14分
18．（1）时，，于是，……………………………3分
又，，
所以，因为，所以．…………………6分
（2）①因为，所以，即，得．………8分
②时，，，
由，得，
因为，所以，于是，…………12分
故，
当时，取最小值．…………………………………………16分
19．（1）当甲的用水量不超过吨时，即，时，乙的用水量也不超过吨，
；…………………………………………………2分
当甲的用水量超过吨，乙的用水量不超过吨，即时，
；……………………………4分
当乙的用水量超过吨，即，时，
.…………………………6分
所以 …………………………………………………7分
（2）由于在各段区间上均单调增，
当时，；……………………………………………9分
当时，；…………………………………………11分
当时，令，解得.…………………………13分
所以甲户用水量为（吨），
付费(元)；
乙户用水量为（吨），
付费(元)．………………………………………………15分
答：甲户该月的用水量为吨、水费为元，
乙户该月的用水量为吨、水费为元．………………………………16分
20．（1）由函数的对称轴是，
知在区间上是增函数， …………………………………2分
因为函数在区间上存在零点，则必有：
即，解得，
故所求实数的取值范围为． ………………………………4分
（2）若对任意的，总存在，使成立，
只需函数的值域是函数的值域的子集． …………………6分
当时，，的值域为， ………………… 7分
下面求，的值域．
令 ，则，
①当时，为常数，不符合题意，舍去；
②当时，的值域为，要使，
需，解得；
③当时，的值域为，要使，
需，解得；
所以，
即，解得或（舍去）；
②当时，在区间上，最大，最小，
所以，解得；
③当时，在区间上，最大，最小，
所以，
即，解得或，所以此时不存在常数满足题意；
综上所述，存在常数满足题意，或．……………………16分
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